obraz1 4

172 IV. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku wariacyjnego

257.    Obliczyć całkę j j    ⁺    J^eżeli S jest powierzchnią elipsy ||

x² y² z^{2    s}

-3+7a+-2^1 (a>i>c>0).

<r b    c

258.    Obliczyć masę części płaszczyzny x+y+z<= 1 dla x$tO, y^O, z^O, jeżeli jej ]

gęstość powierzchniowa f(x, y, z)=xyz.

259.    Obliczyć masę powierzchni z—\lR²—x²—y², jeżeli jej gęstość powierzchnio^] /(x,y,z)^x²y².

260.    Obliczyć masę powierzchni kuli o promieniu R, której gęstość powierzchniowa j w każdym punkcie równa się kwadratowi odległości tego punktu od ustalonej średnicy j kuli.

261.    Obliczyć masę powierzchni stożkowej:

r(r, ^)=rcos ę?sinai + rsin ^sinaj+rcosak, re<0,a>,    <pe(0,2iC}

(a — stała, przy czym 0<a<^7t), jeżeli jej gęstość powierzchniowa w każdym punkcie] P(x,y, z) jest równa kwadratowi trzeciej współrzędnej punktu P.

262.    Obliczyć momenty statyczne powierzchni S, na której rozłożona jest w sposób I ciągły masa o gęstości /(P), gdzie P(x,y, z)e S, względem

a)    wszystkich, osi układu;

b)    początku układu.

263.    Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny Oxy jednorodnej (o gęstości i powierzchniowej p) części powierzchni:

a)    śrubowej

r(u, t>)=ucost?i-f-usint?j+4ck, ue<0,3>,    ue<0,27t>,

b)    hiperboloidy jednopowłokowej

r(u, t>)=acosht?cosui+acoshnsinuj + bsinhł;k,

ue< 0,2it>,    t>e<0,l>.    |

264.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej powierzchni paraboloidy, az=sx²+y²i O^z^a.

265.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnej części powierzchni kuli x²+y²+z²=a², x>0, y>0, z>0.

266.    Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny Oxy części jednorodnej (o gP stości p) powierzchni kuli x²+y²+z² —a², z>0, wyciętej walcem x²+y²—ax-0.

267.    Obliczyć moment bezwładności jednorodnej (o gęstości powierzchniowej r

a)    powierzchni kuli o promieniu a względem średnicy tej kuli,

b)    części powierzchni pasa sferycznego

r(ę», 9)~Rsin cos Si 4-Psin ę>sin$j-i-Pcos ę>k,

9 e <0,2rc>, względem osi Oz,    j