obraz3 4

jV. O*¹¹™' krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria poła i rachunku wariacyj^

23fc a)    ^b) ^{l6n ;}    f): ³^ ^{+ ł})-

237. -j£m.    238. a) £; b) ^; c)    1 I

239.

—y/a?+b²+c^zln2, gdzie & jest c

współczynnikiem proporcjonalności.

240. a) jcV-3xy+y³ + C; b) (x+y)(e^x-e^y) + C;    c) aretg    +C;

d) wyrażenie nie jest różniczką zupełną.

241.    a) 11; b) n+1; c) -1.    242. a) §(3-e); b) -if⁵.

243.    9.

244.    a) nab; b) §; c) 6na² ;

d) W

e)

1    4 n

f)

9

5 '

§ 19. CAŁKI POWIERZCHNIOWE

19.1. Całki powierzchniowe niezorientowane. Niech na powierzchni dwustronnej n> gulamej

(1)    S: T(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k,    (u,v)eA,

dane będzie ciągłe pole skalarne f(M) =f(x,y, z). Powierzchnię S podzielmy na n dowolnych części S_lt S₂,S_n obolach |<Si|, JS₂J,fĄj i z każdej z tych części weźmy po jednym dowolnym punkcie Mi(x_t) y_t, z i). Przy tych założeniach istnieje granica sum

£_i/(*oJ'i.Zł)|S_ł|,

gdy średnice wszystkich części S_t dąźą^do zera, niezależna od sposobu podziału powierzchni ] S na części i od wyboru punktów M,-. Granicę tę nazywamy całką powierzchniową nie-zorientowaną i oznaczamy

(2)    Hf(x>y,z)dS.    |

5

Można wykazać, że

(3)    Hf(x ,y,z)dS= J J/[x (u, o), y (u, _v), z (u, w)] Ir. x r„| du dv,

8    A

gdzie fr„ x r„J = >/EG—F² oraz

E=xl+y²u+z²u, F=*x_ux_v+y_uy_v+_ZuZv) G=x²„+yl+z²v.

W przypadku szczególnym, jeżeli powierzchnia S ma równanie S:    z—g(x, y),    (x,y)eD,

to ze wzoru (3) otrzymujemy    II

(4)    ii/(x,y,x)dS^ $$f[x,y ,g(x,y)2yji +g*+g²dxdy.

s    ^D    :9