obraz
5 3

146 IV. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku warja .

^acy^ⁿ®®o

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (10). a*

a)    U>l«4 (xdy-ydx**$ f [acos³f a-3sin²fcost-asin³i*a-3cos²t(.-._a: „

^{1 1} 2 i    ² i    ^{V 8lnt})]d_ł<(,

=fa² f sui²*cos²*dr=fa² f sin³2f<f**^a² J (1 —cos4t)dt =

6    o    o

- ts a\tsin 40|o"-f'™² •

y (0) = 3 (| sin 0—j sin 0) =0,    tzn. >1(3,0);

x(2jc)=»3(|cos§7C--jCOs|27t)= —|, y (2n)=3 (f sin fłt—| sin §2it) =» | y/3,

b)    Krzywa K ograniczająca obszar D składa się z łuków K_x\ ABC i K₂: cea czym dla łuku ABC jest 0</<2n, ponieważ x(0)=3(f cos 0~| cos 0)=3 (_rys ^ ^Pr2S

^ ~ , A.    'jL I •    >V    a.     i /A

tzn.

Natomiast dla łuku CEA parametr t zmienia się od ti =2n do t₂ =0, ponieważ x(2ji)=3cos§7C = —§,    y(27t)=3sinfit«§_>/3,

tzn. C(-J,fV3);

x(0)«3cos0*3,    y(0)=3sin0=0,

tzn. >4(3,0).

Zatem

JX>| —J j xdy-ydx**% i xdy-ydx+\ J xdy-ydx=*

ćeX

t*

■“ j/f C(⁴ cos i*-cos JOj (cos jt—cos |f) -(4 sin ft - sin |t)| (sin f f -sin**)⁴*⁺ o    Sa    o

+fJ [3cosjtcos|t-3sin|t(»sin £*)] dt**^ J (1 -cos0<**+§ j *^tm