obraz3 4

164 IV, Całki krzywoliniowe i powierzchniowe Teoria pola i rachunku wariacyjnego

Łatwo zauważyć, że współrzędne F_x i F_y siły F są równe zeru, natomiast

^F-=Jf^^s-

s

Hf

dęd& —

Otrzymaną całkę obliczymy korzystając ze wzoru (3) i z zadania 246. Otóż (R cos ę—a)R² sin ę

(yfR² sin² ęjcos²$+R²sm² ę?sin²$+(Rcos ę—a)²)

=P

(Rcos p—a)R²sin ę

(R² +a²-2Ra cos <p)^3/2

(Rcos (p—a) sin ę (R² +a²—2Ra cos ęf^{12 i}

Podstawiając R²+a²-2Raco& ę—u, mamy

du

2Ra’

sin <pdę=*

skąd

(R+a)^J

F_x=2%pR^:

1

2Ra2a

R²—a²—u    7ipR["-2(R²-a²)

-du—~—=-\

„3/2

(R-a)¹

2a²|_ IW

-2V«

(*+«)*

(*-«)*

2npR^:

R-al

Rozpatrzmy przypadki:

1° Niech punkt A leży wewnątrz kuli, tzn. a<R. Wówczas |R—a|=R-fl, skąd

F- = *r*-

2%R²

-p-0=0.

Wynika stąd, że siły działające znoszą się i punkt leżący wewnątrz kuli nie doznaje żadne# przyciągania.

2° Jeżeli punkt A leży na zewnątrz kuli, czyli a>R, to |R—«| = —(R—o). Stąd

- = -(4nR^zp)\.

F*~ — -

4tcR²p

W tym przypadku punkt A doznaje przyciągania równego przyciąganiu punktu przet środek kuli, z umieszczoną w nim masą m_c=4nR²p równą masie całej powierzchni kuli 3° Jeżeli punkt A leży na powierzchni kuli, tzn, a—R, wówczas całka

dę

(Rcos    a) sin ę

(R²+a² —2Ra cos p)^3/a