obraz3 2

174 IV. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku wariacyjnego

273. Obliczyć całki:

a) // xdydz—dx dz+y dx dy, jeżeli S jest częścią zewnętrznej strony powierzchni a

ostrosłup.-:: 0(0, 0, 0), A(1,0, 0), B(0, 2,0), C(0, 0, 1), którą otrzymujemy przez usunięcie ściany AOC;

b)    ff x dy dz+y dx dz+z dx dy, jeżeli S jest wewnętrzną stroną powierzchni kuli x^z+y²+z²=a^z;

c)    ff dydz—2dxdz+x³ dx dy, jeżeli 5 jest częścią leżącą w pierwszym oktancie ze-a

wnętrznej strony zamkniętej powierzchni utworzonej z powierzchni stożka z=Vx²+y^ł i paraboloidy x²+y²=4z—4;

d)    ffxzdydz+x²ydxdz+y² zdx dy, jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni a

znajdującej się w pierwszym oktancie i ograniczonej paraboloidą z=x²+y², walcem x²+.y²=I i płaszczyznami układu współrzędnych;

e)    ff X² dy dz-by² dx dz+z² dx dy, jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuH a

(jc-a)*+(y-d)*+(z-c)²=R²;

f)    JJ x²dydz+xdxdz+xzdxdy, gdzie S jest częścią paraboloidy a

r(r, p)=rcos ęl+r²j+rsin g>k, re<0,1>, ę e <0, zorientowaną zewnętrznie,

g)    ffxzdydz—xdxdz—ydxdy, gdzie Sjest częścią powierzchni stożkowej 8

r(r, p)=s—rcospi+rsinpj+rk, r e <0; 1>, ę e <0,2x>, zorientowaną zewnętrznie,

h)    |J (x—z) dy dz+(z² —y²) dx dz+(x+ż) dxdy, gdzie S jest częścią powierzchni wat a

cowej

r(f, z) =2cos ęi+2sin ęj+z k,

f € <0,2x>, z e <0,4>, zorientowaną wewnętrznie.

274. Sprawdzić wzór Stokesa dla:

a)    funkcji P=x²y*_i Q= 1, R—z, jeżeli AT jest okręgiem X² +y* =a², z=0, a powierzchna S jest powierzchnią półkuli x²+y²+z²=a² (z^O); rozpatrujemy górną stronę powk*^ chm, a konturowi K nadajemy obieg przeciwny do rucha wskazówek zegara;

b)    funkcji P—y, Q=z, R—x, jeżeli A jest okręgiem x(t)=a cos² /, y(t)=y/2 a on teost, z(t)—h sin²1, 0<ł<x, a S jest kołem ograniczonym tym okręgiem,

c)    pola    i-^j+z^k, jeżeli S jest częścią powierzchni paraboloidy

t(r, f)«r cos f l+(l - r²) j+rsin f k

zawartą w I oktancie, przy czym rozpatrujemy zewnętrzną stronę paraboloidy,