obraz1 5

162 IV. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku wariacyjj, Ale

r„ = — osin a sin ul + o sin a cos nj -f-0 • k, r^sinacosui+sinasinuj+cosai^ [r„|² == v² sin ²a sin² u + v² sin² a cos² u — v² sin² a, Jr„J²«=sin²acos²M+sin²asin²M + cos²a—1, r_m'T_v*=* — u sin² a sin u cos u +psin² a sin w cos u =0, v EG—F² =■V v² sin² a — \v sin a| == psina,

zatem

2\2

2x

Bo=pS J v²vsinctdvdu~p'2n-sinoi’ł(R +h ) O o

R

Ponieważ sina=—==-= , wiec B₀=±npR(R²+h²)^3/2. vR+h

248. Podamy zastosowanie całek powierzchniowych niezorientowanych do badania j przyciągania mas rozpostartych na powierzchniach. Niech na powierzchni S (rys. 67) j rozłożona będzie w sposób ciągły masa, z daną w każdym punkcie Af(x, y, z) gęstością j /(Af) =/(.x, .v. x). Niech dalej w punkcie P(x₀, y_Q, x₀) poza powierzchnią umieszczona -będzie masa jednostkowa. Należy znaleźć wielkość i kierunek siły F, z jaką punkt P jest przyciągany przez powierzchnię S według prawa grawitacji.

Rozwiązanie. Otóż, gdyby punkt P był przyciągany tylko przez jeden punkt M(x*y*d I O masie m, to wielkość siły przyciągania byłaby równa

(a)

F*

m • 1

«j m₂

(dla uproszczenia zapisu przyjęliśmy we wzorze Newtona F**k —pp- , Ze *«!), gdzie r ={PAś |