obraz
7 6

148

IV, Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku wariacyjnego

224. Obliczyć masę krzywej

K:    , a> 0,    fe<0,1>,

jeżeli jej gęstość w każdym punkcie P(x, y, ź) określona jest za pomocą wzoru/(*, y₎₂^ "•yj2y/a.

Rys. 58

225. Obliczyć masę łuku krzywej

K:    r(t)=e‘costi+e^łsintj+e^,k, te<0,2jc>,

jeżeli gęstość łuku w każdym punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia wodzącego tego punktu i w punkcie P(1,0,1) wynosi 1.

226.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku cykloidy

x(t)—a(t—suit),    y(t)=a(l — cosf), 0<t<7t.

227.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego (o gęstości p) łuku krzywej

K:    r(f)=e^fcosti-f ^‘sintj+e^,

oraz moment bezwładności tego łuku względem początku układu.

228.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego konturu trójkąta sferycznego x^z+y²+z^z—a², x>0, y>0, z>0 (rys. 59).

229.    Znaleźć pole części powierzchni walcowej x²+y²=a² zawartej między płaszczyzną Oxy i powierzchnią z=(x^a +y²)³.

230.    Kontur K: OACO, gdzie AC jest łukiem okręgu x²+y²=a² (rys. 60), jest kierownicą powierzchni walcowej o tworzących równoległych do osi Oz. Obliczyć pole części tej powierzchni zawartej między płaszczyzną Oxy i powierzchnią z—e*^x2+y*.

231.    Obliczyć pole części powierzchni walcowej x² +y^a=Rx zawartej wewnątrz kuli x*+y*+z*<R².

232.    Obliczyć:

a) f (x^x~‘2y)dx, gdzie K jest łukiem paraboli y**x* od punktu A(— 1,1) do punkt#

*(2. 4);