obraz
0 4

18. Całki krzywoliniowe 141

J x²ydy = J x² -x • 1 rfx«|x⁴Jo =i »

Ki    O

f x²ydy— j x²-Jx‘~₇₌dx=jr_X*\^

2 v^x

i_Y3| l __ i

6^X |0*g

Zauważmy, że całki po drogach K_lt K₂, K₃ są różne, d) Korzystamy ze wzoru

(d)    JPdx+Qdy= JPdx+Qdy+ J Pdx + Gdy + J Pdx+Qdy,

K    Kt    K₂    K₃    *

gdzie K—Kx \j K₂kj K₃. Mamy

Jydx—x²dy= | y4x~.x²dy-+ J ydx — x²dy + J ydx—_x2^_y_

*    PiP^    ^a?s    P3P1

«/2

= J [a sin³r ( - 3d cos²1 sin t) — a² cos⁶t • 3a sin²t cos t] dt+ o    .

i    2 si

+ J K^a~ 0( -1)—( — O² (—1)1 4*+ J [^a sin t{—a sin t)—_a² cos² t* acost]dt

*/2

•J2

= -3a² j sin⁴ tcos² tdt—3a³ j cos⁷ fsin² tdt +

+J(t²+^t-d)dt-⁽ć ]sm²td^t-a³ J cos² tdt = -a²(L+g_n-U9-_a). e) Korzystamy ze wzoru (3):

Jx²dx-2xydy+3z*dz = J(t²—2t- t²-2t+3*⁹-3t²)df=gJ.

212.    Obliczyć pracę siły F działającej przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż pierwszej ćwiartki elipsy b²x² -¥a²y²—a²b² skierowanej dodatnio, jeżeli wielkość siły jest wprost proporcjonalna do odległości punktu zaczepienia siły od początku układu i jeżeli siła ta skierowna jest do początku układu.

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (4), gdzie AB: x{t)—a cos t, y(t)—b sin /, oraz P(x,y)= —kx, Q(x₎y)——ky, ponieważ F= —kxi—ky\ (łc>0) (por. rys. 53). Zatem

n/2

L- J —kxdx — kydy = — k J [acosf(—asint)+bsint • bcos f]dt = ab    o

*12 : s»— k \ (—|d² sin2t+^b²sm2f)^⁼⁼ —a²+b²)(—|;Cos2f){p²—). o

213.    Siły pola o wielkościach odwrotnie proporcjonalnych do odległości ich punktów działania od osi Oz są prostopadłe do tej osi i do niej skierowane. Znaleźć pracę pola

I