3582469142

y

rcoso

Si

poZe(Z)

-fi

Całki podwójne-zadania

Prz. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: (x-2)^z+y² = 4 Ot-l)² +y= = 1 y = X ,y = 0

• Współrzędne biegunowe: Stare współrzędne x,y.

x = r ■ coscp y = r • sin<p

Prz. (też geometryczne zastosowanie) Objętość bryły.

V cR³

D <= R² — obszar regularny V = {(x,y,z) e R³: d(x,y) < Z < g(x,y) (x, y) e D] objętość(V) = JJ g(x,y) dxdy — JJ d(x, y) dxdy = JJ(g(x,y) - d(x,y)) dxdy

\NR³:

x² + y² = 1 - jest to powierzchnia walca x² -I- y² + z² = 9 - sfera

Jeśli liczymy coś o środku w kole to dobrze jest sprawdzić czy uda nam się to policzyć na współrzędnych biegunowych.

Liczenie pola powierzchni fragmentu wykresu funkcji -pole płata powierzchniowego:

Mamy wykres funkcji:

z = /(*,y)

Policzyć pole nad obszarem:

Cx,y)eD

(Analogia z 1 semestru - długość tuku funkcji (od a do b), niżej:)

rb ^_

długość \uku = I -Jl + (f')² dxdy Teraz płat powierzchniowy:

Zad. Wyprowadzić wzór na pole sfery o promieniu R. (4ttR²)

•    Umieścić ją w początku układu współrzędnych:

x² +y² + z² = R²

•    Wystarczy policzyć połowę, a później się pomnoży ©

z = -jR² - (*² + y²)

pole(l) = JJ Jl + (.z_x)² + (z_y)² dxdy

D

To je całka nad powierzchnią będącą przekrojem sfery więc pewnie: D: x² + y² = R²

Po uproszczeniu:

R dxdy b V/?²-(x² + y²) = R • p dp dtp

Zad. Obliczyć pole części powierzchni: z = -]x² + y² (stożek)

Odcięta płaszczyznami:

z = l,z = 2

Zastosowanie w mechanice:

Masa płaskiej płytki o zadanej gęstości

a = <j(x, y) — gęstość powierzchniowa p\ytki

Interesuje nas jaka jest jej masa.

Tniemy płytkę na małe części o wymiarach np. (prostokąt)

(Ax_k,Ay_k)

Wybierzmy punkt (x_k,y_k) z tej powierzchni

Am_k = <r(Ą, y_u) ■ Ax_k ■ Ay_K

M a ^ Am_k = ^ a(x;, y‘_t) ■ Ax_k ■ Ay_k k=l    k=l

= JJ a(x,y)dxdy

D

Zad. Obliczyć masę obszaru D ograniczonego prostymi x - 0,y = 0,x + y = 2

Jeżeli gęstość powierzchniowa masy obszaru D w punkcie (x,y) wyraża się wzorem cr(*,y) = x • y

pole piata (Z) = JJ J1 + (f_x)² + (f_y)² dxdy