002 (64)

Zestaw 3

Zadanie 1. (3 pkt)

Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f(x) = |x + 4| - |a;| i g(x) = |2x|. Zadanie 2. (5 pkt)

Wyznacz wartości parametru k, dla których dziedziną funkcji f(x) = ■*/(! — k²)x² + (k — l)x + 1 jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zadanie 3. (7 pkt)

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13 cm i 15 cm, pole trapezu jest równe 168 cm², a kąt}' przy jego dłuższej podstawie są ostre. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są końce dłuższej podstawy trapezu i punkt przecięcia jego przekątnych.

Zadanie 4. (5 pkt)

Punkty A i B są punktami przecięcia okręgu (x — 2)² + (y -fi l)² = 25 z prostą y — —2x 4- 8, a odcinek AC jest średnicą tego okręgu. Oblicz pole trójkąta ABC, jeśli punkt A ma obie współrzędne dodatnie.

Zadanie 5. (4 pkt)

Dany jest ciąg o wzorze ogólnym

1 + 3 + 5 -fi ... -fi (2ti -fi 1) a_n —    ——    n.

n + 2

a)    Oblicz dziewięćdziesiąty ósmy wyraz ciągu (a_n).

b)    Zbadaj monotoniczność ciągu (a_n).

Zadanie 6. (5 pkt)

Promień podstawy stożka jest równy 3, a cosinus kąta nachylenia jego tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi Oblicz długość krawędzi sześcianu wpisanego w ten stożek (sześcian jest wpisany w stożek, jeśli cztery jego wierzchołki należą do podstawy stożka, a pozostałe cztery do powierzchni bocznej stożka).

Zadanie 7. (4 pkt)

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x) = log(.T² + x) — log(3x + 24). Zadanie 8. (4 pkt)

Prosta k przecina proste y — 2x — 0 i y-\-x — 3 = 0 w takich punktach A i B, że punkt 5(4,2) jest środkiem odcinka AB. Podaj współrzędne punktów A i B oraz wyznacz równanie prostej k.

Zadanie 9. (4 pkt)

Dane są dwa trójkąty prostokątne. Długości boków każdego z nich tworzą ciągi arytmetyczne. Wykaż, że te trójkąty są podobne.

Zadanie 10. (4 pkt)

Dane są dwa styczne okręgi, każdy o promieniu 10. Ze środka jednego z nich poprowadzono pólprostą l styczną do drugiego okręgu (rysunek poniżej). Oblicz pole obszaru ograniczonego tymi okręgami i pólprostą l.

Z urny, w której znajdują się kule o numerach: 1,2,... ,n (n > 2), losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Numery wylosowanych kul tworzą parę (x,y). Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo tego, że para (x, y) spełnia warunek \x — y\ = 2, jest mniejsze od 0,25?

13. Zestawy maturalne 81