004 (64)

Zestaw 5

Zadanie 1. (3 pkt)

Uzasadnij, że prawdziwa jest równość y/l + 4\/3+ \]7 — A\/2> = (18~⁴ : 3^-8) • (2v^/2)⁴.

Zadanie 2. (3 pkt)

Wyznacz te wartości parametru p, dla których równanie \x—3| — |x| = p ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 3. (5 pkt)

a)    Dla jakich wartości parametru p równanie x²+x+p² = 0 ma dwa różne pierwiastki x_x i £₂?

b)    Wyznacz wyrażenie y? + ^ w zależności od parametru p. Zapisz tę zależność jako funkcję y = f{p) i określ jej dziedzinę.

c)    Oblicz f(V2- 1).

Zadanie 4. (5 pkt)

Do wykresu funkcji f(x) = a^x należy punkt (log₂3,9).

a)    Oblicz a i naszkicuj wykres funkcji /.

b)    Naszkicuj wykresy funkcji g(x) = f(x+l) i h(x) = f{-x)+ 3. Wyznacz rozwiązanie równania g(x) = h(x).

Zadanie 5. (5 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 3 — 4 sin a; — 4 cos² x.

Zadanie 6. (3 pkt)

Niech a_n> dla n > 1, będzie resztą z dzielenia wielomianu w_n(x) = (żar² — 3x — przez dwumian (x + 1). Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Zadanie 7. (3 pkt)

Rozwiąż nierówność f(x — 1) — f(x + 1) > 6, gdzie f(x) = 4 —

Zadanie 8. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których prosta x + y + m = 0 ma przynajmniej jeden punkt wspólny z okręgiem x² + y² + 6a; — 4y + 9 = 0.

Zadanie 9. (6 pkt)

Stosunek długości przekątnych rombu jest równy 1:4. Oblicz tangens kąta ostrego tego rombu.

84    13. Zestawy maturalne    |

--- -k

Zadanie 10. (8 pkt)

W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B ma miarę 45”, |/IB| = ‘2\/2 oraz |SCj = 6.

a)    Uzasadnij, że trójkąt ABC jest rozwartokątny.

b)    Oblicz objętość bryły, która powstanie w wyniku obrotu trójkąta ABC wokół boku AB.

Zadanie 11. (5 pkt)

W urnie jest dwa razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy z urny jednocześnie dwie kule. Prawdopodobieństwo wylosowania obu kul białych jest. równe Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.

13. Zestawy maturalne 85