28186

Cranica— zastosowania geometryczne

Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ograniczonej prostą y = 0. prosty x = 1 i wykresem funkcji f(x) = xr.

Rozwiązanie przybliżone. Dzielimy odcinek [0,1] na n odcinków o równej długości:

r 1\	ri	2\	n - 1
0.-		- ).....	,1
[ "/	l”	«/	n

Suma pól $„ prostokątów, których podstawy są równe tym odcinkom a wysokości kwadratom ich lewych końców -sensowne przybliżenie Pole figury s można zdefiniować jako lim_n-*o *»•

Rysunek I: Przybliżony sposób obliczania pola figury S

„Przykład geometryczny"— c.d.

Mamy

1 (n - l)n(2n - 1)

i^:i    6

wykorzystaliśmy równość:

12    ₂2    _n2 ₌ n(w + l)(2w + 1)

G

Obliczenie granicy ciągu (s_n) bezpośrednio z definicji— raczej trudne.

Twierdzenie I (o arytmetyce granic ciągów). Jeżeli ciągi (a_n) i (bn) są zbieżne do granic właściwych, to

lim (an + bn) 1 —OC	= lim «n + lim b„, n—oc n—oo	(1)
lim (an - bn) 1—*00	= lim «„ — lim b„, n—oo n—oo	(2)
lim (can) n—»oo	= c lim an. gdzie c € R. n—oc	(3)
lim (anbn) n—oc	= ( lim a„) • ( lim bn). n—oo n—oo	(4)
.. nn lim — ^n-°° bn	ll®n-*oo .. •. , / n = —-—, o ile lun o,, ^ 0. lim„_30ó„ n-<x	(5)

2