93103

Inż. Śr. I rok, 2 scm. Lista nr 7. Całka w geometrii.

Zad. 1 Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami

a)    y(x)=cosh(x), y(x)=2

b) pole pętli linii danej wzorem parametrycznym x=3t², y=3t- t^s, - - 3 < / < 3

c) pole pętli linii danej wzorem parametrycznym x=2t-t², y=2t²- t^s , 0<t<2 djpole ograniczone jednym obrotem spirali logarytmicznej p=aexp(krp), a>0, k>0 e) pole ograniczone lemniskatą p = a cos(2d)

1) pole ograniczone kardioidą p = a( 1 + cos(d))

Zad.2. Oblicz długość luku krzywej

,    ■■ fv(r) = acos‘(l) „

a)    asteroidy <    Zrób rysunek.

[y(r) = osin (/)

b) * jedrrego obrotu spirali Archimedesa

c)    linii łańcuchowej y(x) = cosh(x), - 1<X<1

Zad.3 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX linii

a)    elipsy

b)    linii łańcuchowej (dookoła osi OX, a także OY)

Zad.4*** Wyprowadź wzory na objętość i pole powierzchni bryły powstałej przez obrót linii ye=y(x) dookoła osi OY.

Zad 5 Znajdź współrzędne środka ciężkości pólpierścienia o promieniach r i R

Zad.6. Wyznacz współrzędne środka ciężkości podanych obszar ów:

a)    figury ograniczonej krzywą y(x)=l-x² i osią OX

b)    figury ograniczonej krzywą y(x)=x² i prostą y=2-x

c)    trapezu

d)    obszaru ograniczonego jednym lukiem y(x)=cos(x)

Zad.7. Wyznacz współrzędne środka ciężkości podanych brył:

a)    półkuli o promieniu r,

b)    naczynia w kształcie paraboloidy obrotowej o wysokości H i promieniu r

c)    stożka ściętego

d)    bryły powstałej przez obrót linii łańcuchowej dookoła osi OX, 0<x<l

e)    bryły powstałej przez obr ót linii y(x)=exp(-x) dookoła osi OX, x>0

Zad 8. Udowodnij pierwszą i dmgą regułę Gitldina

M. Chalfen