93105

Inż. Śr. I rok, semestr 2. Lista nr 9. Równania różniczkowe

Zad. 1. Rozwiąż równanie różniczkowe z warunkiem brzegowym

«0 yy-l.yUH b)xy'=l,y(l)=e c)x²y’=y\ y(3)=5    d)-y+y'=\, y(0)=O

Zad. 2. Wrząca woda stygnie w pomieszczeniu o temperaturze 0 C. Po 10 min temperatura spada do 80 C. Po ilu minutach temperatura spadnie do 50 C ? Jaka będzie temperatura po 1 godzinie ?

Zad.3. Obserwując proces stygnięcia ciała zanotowano, że w chwili początkowej temperatura wyniosła 100 C, po 10 min 60 C, a po 20 min spadla do 40 C. Jaka jest temperatura otoczenia? Spróbuj obliczyć, po jakim czasie temperatura spadnie poniżej zera !

Zad.4*. Obserwując proces stygnięcia ciała zanotowano, że w chwili początkowej temperatura wyniosła 100 C, po 10 min 80 C, a po 20 min spadla do 40 C. Jaka jest temperatura otoczenia ?

Zad.5. Masz 1 kg materiału radioaktywnego o czasie połowicznego rozpadu równym 100 dni. Po miesiącu stwierdzasz, że masa pierwiastka spadla do 700 g. Wyjaśnij ten paradoks !

Ile pierwiastka powinno być ?

Zad.6. Ciało spada z wysokości 500 m, przy czym zakładamy, że opór powietrza jest proporcjonalny do prędkości spadania. Po 1 sek. lotu ciało uzyskało prędkość v=ó.201 m/s. Po jakim czasie ciało spadnie na ziemię ? Jaką będzie miało wówczas prędkość ? Jaka jest teoretyczna prędkość maksymalna ?

Zad. 7. Treść jak w zadaniu 6, z tym, że zakładamy, iż opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości.

Zad.8. Ciało o masie 1 tony tonie w wodzie o głębokości 1 km. Po 10 sek. ciało zanurzy ło się na głębokość 100 m. Po jakim czasie ciało osiądzie na dnie ? Jaka będzie prędkość w chwili dotknięcia dna ? Sporządź wykres drogi i prędkości jako funkcji czasu. Przyjmij, że opór wody zależy liniowo od prędkości.

Zad.9. W naczyniu o pojemności 1001 znajduje się 501 10% roztworu. Do naczynia wlewa się czysta woda z prędkością 2 1/s, a wylewa się roztwór z prędkością 1 1/s. Jakie będzie stężenie roztw^roru w momencie napełnienia naczynia. Sporządź wykres stężenia w czasie.

Zad. 10. Znajdź równanie rodziny ortogonalnej do rodziny

x‘ y

a)    elips j + tt = c gdzie a, b są ustalone, a c>0 - dowolna liczba

a b

b)    parabol y(x)=cx² gdzie c - dowolna liczba

M.Chalfen