211

420 XXI. Całki niewłaściwe

Zadanie 21.3. Obliczyć całkę

dx

xjx

Rozwiązanie. Funkcja podcałkowa jest ciągła w danym przedziale <0, 1> z wyjątkj_erT1 końca przedziału x = 0. Obliczamy całkę niewłaściwą

f dx _ r dx

J Xyfx eilTo J Xyjx

r dx 2

Obliczamy całkę nieoznaczoną —-== —-j= i otrzymujemy

J Xyfx Jx

f -^== lim [—iT- U® f-2 + 1)- + oo,

J XyJX ,- + oL V*Je «- + 0\    V^£/

0

a więc dana całka jest rozbieżna.

Zadania

Obliczyć całki (zad. 21.4-21.26):

1

f x dx

0

2

f dx

Hy?-

o

16

f dx

^21A J W

o

f d*

21.10. t— — , a>0.

J n/u¹^²

o

r x dx

21.12. .

J V 4-9**

*^LU-le=&'’'Jhź^JX-

f dx

iw

0 16

0

1 O

d

f ćfa:

21.11.

J V(x-a)(b-x)

a

1

f x dx 21.13.    - -

J Vl-*²

O

2

f

21.15. _T_ .

J \/x² —1

, a<b.

n/x²-4

^JU7' j

2x dx

V(x^r^f '

f x² dx

^2U8- J 7^?-

21.19.

dx

:Vx²-l

21.20.

-2

1

: \/*² — 1

21.21.

dx

\/4x-4x^J

^2I-²²- J

dx

21.24.

V1 - x² arcsin x

21.25.

ł*

dx

cos 2x

ł*

21.26. f tg x dx.

o

§ 21.2. CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM

Jeżeli funkcja / (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym «<x^!ż (a — ustalone, v — dowolne) oraz istnieje granica

(21.2.1)

lim J/(x)dx,

v~* + oo a ^to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcjif (x) w przedziale a^x< + oo i oznaczamy symbolem

(21.2.2)    f f(x)dx.

a

Analogicznie określa się znaczenie symbolu ⁽²ⁱ-2.3)    J f(x)dx

— co

Jako granicę

Bk    ⁶

(21.2.4)    lim | /(x) dx.