0541

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

543

8) Obliczyć całkę

1 = J e""** dx (a, b> 0). o

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru [491,13)] mamy

L = e-¹^ j    dx^^_=Te-²^ J e^dx =

[patrz 492, 2°].

9) Obliczyć całki

■dtp, /,=-[• n J

■d<p.

cos 4 <p    , ! cos 4 9

_2__j _ *    |______2_

₀ y 2 (cos —cos 0)    ⁷¹ ~ }/2(cos<p—cos0)

Rozwiązanie. Oznaczmy cos 0 przez * i dokonajmy podstawienia 2 = cos 95. Wtedy

1 _ i	! 1+2	3 /
COS 2 *P ~ 1/	“2“’	co® f v= y -
1 i r	dz	i T 1 f
	*)(!-*)	Ji « 1 ir X

Po wprowadzeniu jeszcze raz nowej zmiennej t według wzoru ]/(2—;t)(l — 2) = / (1 — 2) otrzymujemy

Jo = — f n J 0	dt
	r^a +1
/ ^000	4/
	f^a + l

^J--łf -(-tfr^+2<*-^,)/

0 0 0

A więc Jo — 1, i Ą = cos 0. Dalej [511, 3)] otrzymamy ogólniejszy wynik.

10) Całkując przez części sprawdzić, że

(a) J -^c°^s ax-.f°L^bx dx=^ (b-_a), (b)f    dx = ^(b-a),

O    &

(c) C Ml +a'x²)_r\_n (1 +b*x²)    _(a__b)

j    X²

o

11) Łatwo zauważyć, żc [492, 3°, 494, 5)]

/

sin ax

dx *

~it    dla    «>    0,

0    dla    a =    0,

— 4*    dla    « <    0.