0543

545

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

wydzielimy do razu całkę zbieżną

f «"«£._dx = cos ar f ŻS12L,/y-sin o-r f    _dy.

J x+r    -'v    J    y

O    r    r

Następnie za pomocą łatwych przekształceń otrzymujemy

(f\ j)    dx = cos ar J    rfy+sin «r J    rfy+2 cos <xr j *iŁ25Ł _dy,

więc

v.p. f®"****,

J .v—r o

gdy w ostatniej calce przyjmiemy po prostu e = 0.

Ostatecznie

V.p. /

O

14) Niech funkcja /(*) Przy założeniu istnienia całki

t: cos ar .

^2x»^na* _dx = 2 cos ar- filŁ2Ł*r-x²—r²    J v

o

(0<x<«) spełnia warunki /(x+rc) = /(x) i f(n-x) = /(x). po lewej stronie udowodnić wzór

00    rc ii

j f(x) ^Sl ” * dx --= j f(x) dx . o    o

Wzór ten pochodzi od Łobaczewskiego i jego dowód polega na rozkładzie funkcji 1 /sin x na ułamki proste, tak samo jak w szczególnym przypadku /(x) = 1 [patrz 492, 3°].

Zastosować ten wzór do obliczenia całek

(a)    f iia^lid* = ( _sin”_xŻ!L!L_dx (v = 1,2,...),

J X    j    X

o    o

(b)    f arc tg (a sin x) ~ = f SS.W™"*) . jin*_{rfx (fl} > ₀₎.

•/    x J sin x    x

o    o

Całkę (a) sprowadzamy do znanej już [312 (8)] całki

K/Z

j sin^2vx dx

o

E.. (2»—1)1!

2 ’ CZk)!! ’

a całkę (b) do całki

f ^{arc t}8 ^af _dt

o

3S RflPhun»lr rAintozknonr