0550

552

XIII. Całki niewłaściwe

§ 5. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych

498.    Całki o skończonych granicach całkowania; wydzielenie osobliwości. Wyżej w ustępach 322--328 zbadaliśmy różne przykłady na obliczanie przybliżone całek oznaczonych w sensie właściwym. Do całek niewłaściwych metod tych i podanych dla nich oszacowań błędów nie można bezpośrednio zastosować. Czasem udaje się przez zamianę zmiennej lub też całkowaniem przez części sprowadzić całkę niewłaściwą do właściwej. Wtedy całkowanie przybliżone całki niewłaściwej sprowadza się do znanego już nam zadania.

o

W wielu przypadkach obliczenie przybliżone całki niewłaściwej j f(x) dx w przedziale skończonym

m

można uprościć, stosując tzw. wydzielenie osobliwości (*). Metoda ta polega na znalezieniu takiej funkcji <7(jt) prostego kształtu, która jak gdyby pochłania wszystkie osobliwości funkcji f{x) tak, że różnica <p (x) = f{x)—g(x) nie zawiera już osobliwości, to znaczy jest całkowalna w sensie właściwym. Staramy się przy tym tak dobrać funkcję g(x), żeby całkę z g(x) otrzymać w postaci skończonej i żeby funkcja <p (x) miała pochodne dostatecznie wysokie:    rzędu, aby przy przybliżonym obliczaniu jej całki można

było wykorzystać odpowiednie wzory na oszacowanie błędu.

Funkcję g(x) dobieramy w różny sposób zależnie od przypadku. Jako przykład podamy ogólną regułę konstrukcji tej funkcji dla pewnej często spotykanej klasy całek.

Przypuśćmy, że funkcja podcałkowa ma postać

f{x) — (x—Xo)~*h (h) (a <.r₀ < b, 0 < <* < J), gdzie h (jc) dla o<x<ó daje się rozwinąć w szereg

A(.y) = Co + c_l(x—Xo)+c₂(x—Xo)²-'r ... -hc„(x—Xo)"+ ...

Przyjmujemy wtedy

g(x) = (.v-x₀)"*[co+Ci(x-.Yo)+ ... +c„(x~■x₀y•]

i

<p(x) = (x-.Y₀)-*[p.₊i(.v-.r₀)"^+,+ ...] = (JC-.v₀)'^+<‘-ⁱ‘^,[c.₊₁-f ...]•

Całkę z g{x) obliczamy łatwo; ponadto rp (x) ma oczywiście w przedziale <a, by, z punktem x₀ włącznie, n pochodnych ciągłych.

499.    Przykłady

1) Niech dana będzie całka

1 1/2

( x-^,/2(l-x)-ⁱ'^ldx - 2 f A-^,/J(l-x)-^llldx ;

ó    ó

w ostatniej całce jedynym punktem osobliwym jest 0.

Rozwijając (1 — x)-^,/2 według potęg x, poprzestaniemy na wyrazie zawierającym .v⁴. Przyjmijmy

g(x) = x->'² (1 + \ x+ } x^J+ x>+    x*) ,

ę>W = x-‘/²[(l-x)-¹'¹-(l+ ...+-^.x*)] = ^-x’'²+ ...

Wtedy

1/2 1/2 1/2 /= / x-'ⁿ(\—x)-^uldx = J g (x) dx+ J’ <p (.v) dx = /i + /₂ .

O    0    0

Wartość /j łatwo można obliczyć

^II = ‘-^5691585-

C) Metoda podana przez Ł. W. Kantorowieża.