0524

526

XIII. Całki niewłaściwe

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

492. Pewne ważne całki. Zaczniemy od obliczenia pewnych ważnych całek, stosując różne sztuczne chwyty.

1° Całka Eulera

*/2

J = J ln sin x dx ,

o

o której istnieniu przekonaliśmy się już poprzednio. Obliczenie całki Eulera oparte jest na zastosowaniu zamiany zmiennej. Podstawiając x — 21 mamy

it/a

ir/4.

Jt/4

J = 2j ln sin 2t dt = -^-7rln 2+2 J ln sin f d/+2 J lncostdt.

lt/2

Podstawiając w tej ostatniej całce t = — tc—u, sprowadzamy ją do postaci 2 f In sin udu.

nu

Ostatecznie otrzymujemy równanie na obliczenie J

J = -|-7rln 2+2J, skąd J = —j7tln 2.

Do tej samej całki, z dokładnością do znaku, można sprowadzić także całki niewłaściwe [porównaj 489, 1) i 2) (b)]

71/2    1

f    f ^arcHLf. _dx

J tg X J    X

O    O

2° Przejdźmy do obliczenia całki Eutera-Poissona

00

K = f e~^xldx, o

występującej w rachunku prawdopodobieństwa. W tym celu wyprowadzimy najpierw pewne nierówności.

Zwykłymi metodami rachunku różniczkowego łatwo można wykazać, że funkcja 1 + t)e~' osiąga swą największą wartość 1 dla t = 0. A więc dla t > 0 i t < 0 zachodzi nierówność

(1+t) e~* < 1.

Podstawiając tu / = + x², otrzymujemy

(l—x²)e** < 1 i (l+x²)e-*’ < 1,

skąd

1 l+x*