0545

547

§4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

Rozwiązanie. Mamy (dla jj>0)

CO    CO

V V    V

Pierwszą z całek po prawej stronie przekształcamy całkując przez części:

,• _e-ox__e->,x _d^ ₌ _

J X¹ ’    x

+

-dx,

więc ostatecznie

e~^mx—e~^bx+xa—be~^bx _dx _ e

•v___p-*v

x

n

+a

t _e-*^x-e—x

J x

■ dx.

V    V

Gdy rj -+0, pierwsze wyrażenie po prawej stronie dąży do b—a, a drugie do całki Froulianiego:

t>-bx_p-ax    _n

±-^e— dx = a-ln —

20) Wykazać, że

00

Acosax+Bco&bx+ ... +Kcoskx

I

dx = —{/41no+RInb+ ... +/nnk}

przy założeniu, że a, b,k>0 i A+B + ... + K = 0 (ostatni warunek jest oczywiście konieczny dla istnienia całki).

Wskazówka. Przyjmując K = — A—B— ..., skorzystać ze wzorów

C A cos ax—A cos kx

■dx = — A ln a+A ln k, itd.

Łatwo można uogólnić powyższy wzór na przypadek dowolnej funkcji f(x) spełniającej warunki ustępu 495, II.

21) Obliczyć całkę

f^Ldx,

J x"

gdzie n i m są liczbami naturalnymi i h>/«>2.

Rozwiązanie. Przenosząc na przypadek przedziału nieskończonego uogólniony wzór na całkowanie przez części [311], otrzymujemy od razu

UD

f    dx = ——L— f -~—y sin’* —

J jc"    (m—I)! J    x

o

(gdyż znika tu pierwszy wyraz).

(') Całki te nie są zbieżne, gdy jj = 0.