0529

$ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

531

a z drugiej strony oczywiście

00    00    oo

/ f(x) dx> h £/(W.) = h £/(W.)-///(0)

więc

0 < hY/(vh)~ f f(x) dx < hf(0)

v~0

(i)

w    w

J /W    = lim h Y/(Wt),

Ó    »-0 v=0

Przykłady

1) Przyjmijmy f(x) = e~^a. Wtedy

/(*) dx — lim h T* e ^v* = lim --—

o    »-*o    »-o 1 —t~

2) Znając skądinąd wartość całki

jŁ.

= 1

możemy mimo to zastosować wyprowadzony wzór. Otrzymamy

lim A?*    = j£L.

V-»©    ^

Jeżeli przyjmiemy e~*² = /, to A = |/ln 1//~|/1—/, gdy /-*■!. Stąd wynika ciekawa równość

lim |/Tw-(1+/+/⁴+/⁹+/^,6+ ...)

.-.-o    2

Może się zdarzyć, że założenie o monofonicznym maleniu funkcji /(x) jest spełnione tylko dla x 5= A > 0. Ta okoliczność nie przeszkadza w zastosowaniu metody podanej wyżej dla funkcji monofonicznych. Musimy tylko postarać się o to, żeby stosunek Ajk był liczbą całkowitą. Mamy wtedy

i-

(2)    lim V f(vh) h = f f(x) dx

z samej definicji całki właściwej, a

00 00 lim    f (v/i) h = J f(x) dx

A

fc

zgodnie z tym, co udowodniliśmy wyżej.