0527

529

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

493. Obliczenie całek niewłaściwych za pomocą sum całkowych. Przypadek skończonych granic całkowania. Jeżeli funkcja f(x) jest w przedziale <a, b} nieograniczona, to oczywiście nie można korzystać przy obliczeniu całki tej funkcji z dowolnych sum całkowych (riemanowskich). Jednakże zawsze można w ten sposób wybierać te sumy, ażeby dążyły przy rozdrabnianiu przedziału do wartości całki niewłaściwej. Udowodnimy to w najprostszym przypadku funkcji monotonicznej.

Niech więc będzie dana funkcja dodatnia f(x) monotonicznie malejąca w przedziale <0, r/> (a > 0) i dążąca do +oo, gdy x -* 0. Załóżmy przy tym, że istnieje jej całka niewłaściwa w przedziale od 0 do a. Po podzieleniu przedziału <0, a) na n równych części

mamy

V+1

a

■ ■■ ■ a

fi

— a n

a więc tym bardziej

Poza tym jest oczywiście

a więc biorąc to wszystko pod uwagę mamy

Ponieważ ta ostatnia całka dąży do zera (*), gdy n-* oo, więc ostatecznie

Gdy funkcja /(.v) jest dodatnia, rosnąca i dąży do +oo dla x -* a, otrzymujemy podobnie

Zmieniając wreszcie znak /, łatwo można otrzymać te same wzory dla funkcji monotonicznej ujemnej.

(') Całka ta jest różnicą całki niewłaściwej J i dążącej do niej całki właściwej J.