0525

527

§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych

Ograniczając w pierwszej z tych nierówności przedział zmienności x do (0, 1) (a więc 1 —x² > 0), a w drugiej przyjmując, że x jest dowolne, podnieśmy wszystkie te wyrażenia do potęgi », gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Otrzymujemy (*)

(1—x²Y < er”*¹    (0 < x < 1) i e~

(x > 0).

1

(i+x²r

Całkując pierwszą nierówność w przedziale od 0 do 1, a drugą od 0 do + oo otrzymujemy

1 1 +00 +00 J (1 — x²ydx < J e-"^x2dx < J e~^nxl dx < J* —

dx

+x²)"

lecz

⁰⁰    j

Jerdx = —-==-K (podstawienie u = j/nx), yn

n    w

nil

(2n)H

J (l—x²)"dx = J sin²"^+l t dt = ^ + 1)!! (podstawienie x = cos t)

i wreszcie

00

*12

f (1+x²)^H ~ f ^s‘ⁿ²"^-2 * ^ ⁼    (podstawienie x = ctg t).

(2n—2)1!    2

*12

(Korzystaliśmy tu ze znanych wyrażeń na / sin" xd x z 312 (8)). A więc nieznaną wartość

o

K możemy zawrzeć między następującymi dwoma wyrażeniami:

Vⁿ

— (2n)!!

< K < /ir

(2n—3)!!    nr

(2/1 + 1)!!    ^r"    (2/i-2)!!    2 ’

po podniesieniu do kwadratu i dokonaniu przekształceń otrzymujemy

n    (2/»)!!    ^    n ((2n—3)!!)²(2/i — 1) / tc V

2/1 + 1 ' ((2/1 —l)!!)²(2n + l) Ze wzoru Wallisa [317]:

< K² <

2n-l

((2/1-2)!!)²

(*)■

= lim -

((2n)!!)^ł

2    ((2/i-l)!!)²(2n-l)

łatwo już widać, że oba skrajne wyrażenia dążą do tej samej granicy n/4, gdy n -* oo, a więc

K¹ =

i X =    (ponieważ K > 0) .

(') W przypadku nierówności o wyrazach dodatnich dopuszczalne jest podnoszenie do potęgi naturalnej stronami.