0553

555

S 5. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych

4) W końcu rozpatrzmy przykład innego rodzaju

w/a

/= J logio sin xdx, o

z punktem osobliwym 0.

Naturalne będzie przyporządkowanie funkcji podcałkowej funkcji g(x) = log,₀x, której całkę łatwo obliczymy (^l).

71/2    77/2

/i = J logio * <fjc = M J lnncrfje = Afjr(In jr—I)|*^/2 = y7c-(logyłc—Af) « —0,374123. o    o

Natomiast całkę /₂ z funkcji <p (x) = l°8—“' obliczamy według wzoru Simpsona (2n =18, sześć cyfr po przecinku). Mamy

"/a

It = — f [logio ar—logio sin ar] dx « —0,098733 . o

Wobec tego

7 = 7,+7₂ « -0,472856.

W rzeczywistości całka / różni się od znanej już nam [492, 1°] całki

W/2

f Insinjrrfjr =—7r*ln2 J    2

o

tylko o czynnik ńf, więc

/ = - i-te log,o 2 = -0,4728568...;

widzimy, że wszystkie sześć cyfr w otrzymanej poprzednio wartości całki są dokładne.

Nie znając prawdziwej wartości, musielibyśmy korzystać z oszacowania błędu we wzorze Simpsona.

Tutaj

ę (*) = M (In ar—ln sin x),    ?<*>(*) = M 6 (^-sin^-Jar^sin^

x* sin⁴ar

Można wykazać, że 0<ę>⁽⁴⁾(x)<    M<36, skąd 7?<0 i |/{| <0,000002. Uwzględniając błąd przy zaokrą

glaniu moglibyśmy stwierdzić tylko tyle, że

|7| w 0,47285+o,ooooi *

500. Uwaga o przybliżonym obliczaniu całek właściwych. Metoda wydzielania osobliwości może się okazać przydatna także przy obliczaniu całek właściwych, jeżeli funkcja podcałkowa, będąc nawet ciągłą, nie ma potrzebnej liczby ciągłych pochodnych (utrudnia to oszacowanie błędu). Wyjaśnimy to na przykładzie.

Rozpatrzmy całkę

7 =

f ln A^-ln(l+jr)</j«r.

O

(') Litera M oznacza współczynnik przejścia od logarylmów naturalnych do dziesiętnych.