0131

133

S 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych

slępnie każdy pasek zastępujemy w przybliżeniu przez prostokąt o wysokości równej jednej z rzędnych. Prowadzi to do wzoru

/f(x)dx - —-[/(fo)+/«.)+ - +/(£„-.)],

^J    n

a

gdzie .v_i<|,<.v₍₊₁ (/ — 0, I.....n- 1). Pole krzywoliniowej figury zastępujemy tu polem pewnej figury

schodkowej złożonej z prostokątów (innymi słowy, całkę oznaczoną zastępujemy sumą całkową). Taki przybliżony sposób obliczania całki nazywa się metodą prostokątów.

W praktyce bierze się zazwyczaj e, = ^X‘ ^{+ Xl}*' = jr_i+1/2. Jeśli odpowiednią rzędną/(f,) = f(x_t+_m) oznaczymy przez yi+i/j. to ostatni wzór przyjmie postać

^b    h_

(1)    Jf(x)dx«-- (yi,2+ysi2+ ...    ■

^J    n

u

W dalszym ciągu mówiąc o metodzie prostokątów będziemy mieli zawsze na myśli ten właśnie wzór. Interpretacja geometryczna prowadzi również do innego wzoru przybliżonego, który jest często stosowany. Zastępujemy mianowicie daną krzywą wpisaną w nią łamaną o wierzchołkach w punktach (x_h y,), gdzie y, = f(x,) (i — 0, 1, .... /?— 1). W ten sposób zastępujemy naszą figurę krzywoliniową przez inną, składającą się z pewnej liczby trapezów (rys. 7). Jeśli —jak poprzednio — podzielimy przedział <n, by na jednakowe części, to pola tych trapezów będą odpowiednio równe

b—a _ yp-t-ri    b—a . y,+y₂    b—a . y,-i-fy.

n    2    ' n    2    '    ' n    2

Dodając te pola otrzymamy nowy wzór przybliżony

(2)    jf(x)dx »    ( ^yo+2^y" +y,+yi-l- ...

Jest to tak zwany wzór trapezów.

Można udowodnić, że przy przejściu z n do nieskończoności błąd w obu wyprowadzonych wzorach dąży do zera. Wobec tego oba te wzory przy dostatecznłe dużym n dają przybliżoną wartość szukanej całki z dowolnie dużą dokładnością.

Jako przykład weźmy znaną nam już całkę

i

f ^dx , = — - 0,785398 ...

J l+jr² 4

O

i obliczmy jej wartość przybliżoną za pomocą obu tych wzorów, biorąc n = 10 i uwzględniając 4 miejsca dziesiętne.