DSC07150 (5)

228

Zastosowanie całek oznaczonych

• Przykład 9.5

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu wokół osi Ox figur T przedstawionych na rysunkach poniżej:

Ihriinung

a) Figura. T podana w zadaniu jest opisana przez nierówności: —r x $ r, h — y/r³ —X¹ ^ y $ h.

7wm objętość bryły V powstałej z obrotu figury T wokół osi Ox wyraża się wzorem

■t    r

|yi = r J jłir -|/i- y/r³ — z³^ | dx = J ^Uly/r³ — z³ + z* — r² j dx

111 - r^r ■

b*) Rozważmy przekrój trójkąta T płaszczyzną prostopadłą do osi Ox w punlće x. Wyznaczymy odległość J{x) punktu P przeciwprostokątnej trójkąta, leżącego na płaszczyźnie tnące], od jes obrotu (rysunek).

Mamy    _

/(*) = yJ(P + h?tx) = yjc¹ + bi*    — i^ , gdzie 0 $ z ś «.

Bryła, którą w czasie obrotu wokół osi Ox zatoczy trójkąt, będzie taka sama jak bryła, którą zatoczy w czame obrotu, wokół tej samej osi, figura T': O-Jz^o, c$(/$ /(z).

Przykłady

Zatem

a

\V\ = * J [/*(*) - c³] dx

O

o

Zewnętrzna powierzchnia boczna otrzymanej bryły obrotowej (rysunek powyżej) jest hiperbolą jednopowłokową. Warto zauważyć, że objętoćć tej bryły nie zależy od c

• Przykład 9.6

Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:

^a) /(=) = i³, 0 < z < 1, Oz; b) /(z) = 2>/z, 0 < z < 1, Oy.

Rozwiązanie

a)    Pole powierzchni E powstałej z obrotu wokół osi Ox wykresu funkcji y = /(z), gdzie a $ z $ 6, wyraża się wzorem

|E| = 2ir J Hx)yj\ + \I'{x)\⁷dx.

a

Ola powierzchni rozważanej w zadaniu mamy

|E| = 2rr J x³y/l + (3x*)^,dx = 2x J x³y/l + 9x*dx o    ⁰ -

= ^[Vo7^?]‘ = 5(¹°Vió-¹).

b)    Pole powierzchni E powstałej z obrotu wokół osi Oy wykresu funkcji y = /(z), gdzie 0 £ a $ x $ 6, wyraża się wzorem

t

|E|