197

392 XX. Zastosowania geometryczne całek

Zadanie 20.63. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu luku paraboli y* ^. w granicach 0^.v<3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzch i płaszczyzną x = 3.    ^

Rozwiązanie. Aby obliczyć pole powierzchni obrotowej, trzeba znaleźć najpi_env

- dy 1

różniczkę łuku dL (por. wzór (20.2.2)). Mamy y = 2Jx, — = —, więc

dx Jx

^{t/L =} V ^{] +} x^dX-

Stosujemy wzór na obliczanie pola powierzchni obrotowej

3    3    _ 3

S = 2irj ydL=2n j 2\/xJ\ 4—dx = 4nJ*\Jx + \dx =

oo    o

= 4* • 4 [(* +l)³'²]³ = § Tt [4^3/2 -1^3/2] =4 x (8 -1),

czyli ostatecznie S=^n.

Obliczamy objętość bryły obrotowej

3    3

V = n J y² dx = n [ Axdx = 2n [x²]o = 18it.

o    o

Zadanie 20.64. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu cykloidy x= a(t — sin /), y = a(l-cos/),

gdzie a>0, 0</<2n, dookoła osi Ox (por. zad. 20.2 i rys. 20.4), a także objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią.

dx    .

Rozwiązanie. Zauważmy, że pochodną — = a(l—cosi) jest nieujemna, a więc

dt

x=g(t) jest funkcją rosnącą; funkcja y = h(t) przybiera wartości nieujemne.

Objętość bryły obrotowej obliczamy według wzoru (20.3.3), gdzie ^=0, t₂=^. dx

Obliczamy — = a(l-cosf)< więc mamy dt

2n

V = n § a³(l - cos t)³dt = na* j (1 - 3 cos * + 3 cos²1-cos³ t)dt = o    o

2n    Zn    2 n    2n

= 7ta³( J dt-3 J costdt+3 J cos² tdt- J cos³ tdt) =

= rta³([f]o’' - 3 [sin f]o" 4- 3 [414-i sin 2l]o'¹ - [sin t - i sin³ ijc"), skąd po obliczeniu ostatecznie otrzymujemy K=57t²a³.

pole powierzchni bryły obrotowej obliczamy ze wzoru (20.3.4), gdzie t_y =0, t₁ = 2n. y/ zadaniu 20.25 obliczyliśmy, że dla cykloidy jest dL = 2a sin dt. Mamy więc

2b    2 n

S=2n j a(l—cos t)2a sin i tdt=8na² J sin³ \tdt, o    o

gdyż 1-cos r = 2 sin² jr. Aby obliczyć całkę nieoznaczoną, wykonujemy podstawienie \j~u, skąd dt=2du; otrzymujemy

J sin³ dl = 2 J sin³ udu = —2j (1 —cos² u)d(cosu) =

= — 2(cosu — 3 cos³ u)= — 2(cos-if—jcos³-!/).

podstawiając powyższą wartość do wzoru na S mamy

S = 8ir«²(-2) [cosif-jCos³i t]o’'= — 16jta²(( — 1 +j)-(l -3)).

Ostatecznie więc po redukcji otrzymujemy S=^na².

Zadanie 20.65. Obliczyć objętość oraz pole powierzchni elipsoidy powstałej z obrotu elipsy dookoła osi Ox.

x'² y²

Rozwiązanie. Aby obliczyć objętość, z równania elipsy —₅ = 1 wyznaczamy

a b

y²-b‘

a

Potowa objętości elipsoidy wyrazi się więc wzorem

i K = 7t J*^b²-~x²^jdx,

0

skąd

a    a

V = 2nł>²^ J dx—j j* x² dx^ = 2nb²    —5 •—^ = 5 nub².

o    o

Dla obliczenia pola powierzchni wygodniej będzie skorzystać z równań parametryczni¹ elipsy x = a cos /, y=b sin t (por. zad. 20.1). Funkcja x = a cos t w przedziale 0<f < rc ^^st stale malejąca, a funkcja y = bsin/ przybiera wartości nieujemne. Pole powierzchni ^rPty obrotowej wyraża się wzorem (por. wzór (20.3.4):

S = 2n | b sin t \Ja² sin² t + b² cos²1 dt. o

f)

^stawiamy cos t = u, skąd —sin t dt = du, i odpowiednio zmieniając granice całkowania