201

400 XX. Zastosowania geometryczne całek

400 XX. Zastosowania geometryczne całek

•jemy

Rozwiązanie. Moment bezwładności pierścienia o grubości Ax, i promieni_u wynosi AB, = Am,xf, gdzie Am_t = 2nx_laAx,y, masa danego pierścienia, zatem otrzym_u

AB_t = 2nXiaAx_iyx] = 2nayxf Ax₍.

Moment bezwładności całego koła zamachowego wynosi więc

n    n

B= lim Y, ABi = 2nay lim Y

ABi-+ 0i=l    óxi-*0 i = 1

R

= 2nay J x³dx = 2tlay [£ x⁴]? =\nay (R⁴ — r⁴).

r

Zadanie 20.96. Parabola y² = 2px, gdzie p>0, obraca się dookoła osi Ox. Obliczyć moment bezwładności względem osi Ox odcinka paraboloidy obrotowej w przedziale 0    zakładając stałą gęstość przestrzenną a

Rozwiązanie. Mamy

a    a

I_x=jno J y*dx = 2nop²J x²dx = \nop¹a³ o    o

Zadanie 20.97. Obliczyć moment statyczny względem osi Ox luku cykloidy x=a(t~ — sin/), y=a(l —cos/), gdzie a>0, 0</<2tc, przy założeniu, że gęstość liniowa X jest stała.

Rozwiązanie. Moment statyczny łuku AB obliczamy ze wzoru (20.4.6). Całkę \ydL dla cykloidy obliczyliśmy w zadaniu 20.64. Mamy więc M_x = ~Xa².

Zadanie 20.98. Obliczyć moment statyczny względem osi Ox obszaru górnej półelipsy

przy założeniu, że gęstość powierzchniowa p jest stała.

Rozwiązanie. Moment statyczny trapezu krzywoliniowego względem osi Ox obli-

, b¹ ,    ,

czarny ze wzoru (20.4.7). Z równania elipsy obliczamy y =-r(a — jc ). Mamy

a

a

M_x = \p j~’2(^a2-^x2'>^{dx =} P^p^^a2x—J    =\pab².

— a

Zadanie 20.99. Obliczyć współrzędne środka ciężkości łuku asteroidy x²¹³ +y^2l3 = <^jil ’ gdzie a>0, 0<x<a, y^0.

Rozwiązanie. Wzory na środek ciężkości łuku AB są

B    B

H^xdL

A    A

£,= j dL oznacza długość łuku (por. wzór (20.4.9)). W zadaniu 20.90 dla asteroidy

^leźliśmy dL=a^sx ⁱdx. Obliczamy

J xdL= | xaⁱx~ⁱdx = a* j x*d;t = a^ł-|[x^ł]o = |a², \ dL= \ aⁱx ^łt/jc = a⁺-f [.v^ł]o = |n .

Stąd

Zupełnie podobnie znajdziemy J y dL=\a² i następnie i = \a.

0

Uwaga. Jeżeli w równaniu asteroidy x^2/3+>'²³ = «^2/3 zastąpimy x przez y i na odwrót, to równanie nie ulegnie zmianie. Z tego wniosek, że asteroida jest symetryczna względem prostej y = x (por. zad. 20.3) i że na tej prostej leży środek ciężkości ćwiartki asteroidy. Wiemy, że £ = |a, możemy więc wnioskować, że l = \a.

Zadanie 20.100. Wyznaczyć środek ciężkości obszaru ograniczonego ćwiartką elipsy

a

gdzie a>0, b>0, 0^x^a, oraz osiami współrzędnych Ox i Oy.

Rozwiązanie. Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami.

Sposób I. Współrzędne środka ciężkości obliczymy według wzorów (20.4.10), tzn.

jxydx    \ J y²dx

,o    o

£=-?- ’ n= —a-

$ydx    \ydx

Obliczamy kolejno:

0    o