204

406 XX. Zastosowania geometryczne całek

406 XX. Zastosowania geometryczne całek

^ania

Rozwiązanie. Wydłużenie elementu stożka o wysokości Ax_t pod wpływem dzi_a) ciężaru G zgodnie z prawem Hooke’a wynosi    ^an'

AW,=

AX: G

, .    _ nplx,

gdzie    C = —-—y,

ES_XI’ ~    3

pole zaś przekroju S_Xl wyżej wymienionego elementu stożka wynosi S_Xl = npl_r 2^ mamy

AW: =

Ax,np*,x_iy yx_tAx,

3 £

El■npl

Całkowite wydłużenie wynosi

ły= lim t AWi=j^ lim t ^xi*^xi=^ \ ^xdx=^\j\=% ■ óWt-<o i=o    JŁ,aii-of=o    Jt J    Jc|_ZJ₀ bt

Zadanie 20.140. Wielkość siły F działającej wzdłuż drogi x zmienia się według wzoru

u* 3 F=10cos--ł--

2    l+x²‘

Obliczyć pracę L wykonaną przy pokonywaniu danej siły wzdłuż drogi 0<x<l. Rozwiązanie. Mamy

^L- j^Fdx- J (¹⁰“^s r⁺rr?)‘'"[?^si"?⁺3arc,8'l⁼

20    . tt    20    2 0    37t    80 + 3ti²

= — sin —h3 arctgl--sinO — 3arctg0=--1— =-.

71    2    TT    7t    4    471

Zadanie 20.141. Opory ruchu zmieniają się według wzoru i? = 5x⁴ + tgx. Obliczyć, jaką pracę L trzeba wykonać, aby dane ciało przesunąć wzdłuż drogi 0<x<j7t.

Rozwiązanie. Mamy

%

ł*    in

L= J Rdx= J (5x⁴ + tgx)dx=[x⁵-ln(cosx)]Jⁿ = o    o

=(jJt)⁵ - In (cos jTt) + ln (cos 0)=^tt⁵ - ln i ^2 = j^tt⁵ - > 2.

Zadanie 20.142. Moc P obciążenia pewnej maszyny zmienia się w czasie t wedb^ zależności

2l

P= -j— +1. r+1

Wyznaczyć energię A zużytą w ciągu czasu 0<r<10.

Rozwiązanie. Mamy

10

A= J Pdł= ^^y + ^d/ = [ln0² + l)+il²]i° = lnl01+50.

Zadanie 20.143. Moc P silnika w czasie pracy zmieniała się według zależności P= _(Sj_n;+31. Obliczyć pracę L wykonaną w ciągu czasu 0

Rozwiązanie. Mamy

71    TT

L= J Pdt = J(rsinr + 3r)dr = [-fcosr+sin r + fr²]5 = o    o

= -7tcosir + sinn+|a²+0cos0-sin0-|0² = 7t + |7t² = (l +|ir)7t.

Zadanie 20.144. Do źródła prądu zmiennego o napięciu U=U_m sin cot, gdzie co — pulsacja prądu (co=2n/T, T - okres zmian), został włączony odbiornik o oporze czynnym R. Obliczyć energię elektryczną pobraną ze źródła w ciągu czasu t_l=200T.

Rozwiązanie. Energię elektryczną pobraną ze źródła w ciągu czasu obliczamy ze wzoru

»i

A= j Uidt,

o

gdzie U chwilowa wartość napięcia U =U_m sin cot, a /' chwilowa wartość natężenia prądu

U U_m .

w obwodzie. Z prawa Ohma wyznaczamy i = — = —- sin cot, zatem

200 T

sin cot

0

200 T

u_m    Vt f

— sin cotdt = —    sin ~cotdt =

R    R J

200 T

(1 — cos 2cot)dt=

Ul

2R

[

1

t--sin2co/

2co

]

200 T 0

t    o71    U² /    T    \ U²T

Rwiemy, o>=—, zatem A = —{ 200T--sin800rt )= 100    .

T    2R\    4n    )    R

Zadanie 20.145. W pewnym obwodzie prądu zmiennego natężenie prądu i zmienia się

HE

Według zależności i=e~^3t sin \nt. Obliczyć ilość elektryczności q= | idt, jaka przepłynie ■    o

^ ^anym obwodzie w czasie 0</<2.

Rozwiązanie. Mamy

h    2

<J= J idt= J e^_3‘sin|7trdt.

o    o