skan0341

D2. Zastosowanie transformacji Laplace’a do rozwiązania równania dyfuzji jednowymiarowej

(II prawo Ficka)

Zgodnie z II prawem Ficka szybkość zmiany stężenia jest proporcjonalna do drugiej pochodnej zależności stężenia od odległości. Ograniczając się do procesu jednowymiarowego możemy je zapisać jako

dgfo t) _ _n d²c{x, t)

dt    dx² ’    ⁽ '

gdzie D jest współczynnikiem dyfuzji [m² • s^-1]. Rozwiązanie tego równania różniczkowego cząstkowego II rzędu wymaga nałożenia na stężenie warunku początkowego (dla t = 0) oraz dwóch warunków brzegowych dla zmiennej x.

Wygodną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda transformacji Laplace’a, która funkcji f{t), zwanej oryginałem, przyporządkowuje funkcję F(s), zwaną obrazem, zgodnie z wyrażeniem

F(s) = J f{t) Qxp(-st)dt =    {/(/)},

o

gdzie ^rd jest operatorem Laplace’a, s zaś - parametrem. Przekształcenie Łapiące^ polega na całkowaniu względem zmiennej t w przedziale od 0 do toteż w' odniesieniu do równań różniczkowych cząstkowych zmienną x przyjmujemy za ustaloną.

Weźmy jako przykład proces rozpuszczania, zachodzący w dużym zbiorniku, którego dno pokryto warstwy soli i napełniono, bardzo delikatnie, czystą wodą. Wyrażenie na zależność stężenia rozpuszczonej soli od czasu t i odległości jc od dna zbiornika musi spełniać rówmanie (1), a ponadto warunek początkowy

c(x, 0) = 0,    (2)

a także dwa warunki brzegowe - pierwszy, wynikający z faktu, że tuż przy dnie roztwór jest nasycony, o stężeniu c_s

c{0, t) = c_s

i drugi, związany ze skończoną ilością soli w zbiorniku, toteż

lim c(x, t) = 0.

.V—>oo

Do obu stron równania (1) stosujemy transformację Laplace^!a

dc (x, t) dt

= Dse

d²c(x, t) dx²

(3)

(4)

(5)