22884 skan0343

346 Zastosowanie transformacji Laplace’a

C, = C(0,5) = Sf{c(0,0} =SE{c_s} = A

ponieważ obrazem wielkości stałej jest iloraz tej stałej przez s (zob. tab. D2.1). A zatem rozwiązaniem równania (7), w przestrzeni obrazu, będzie funkcja

Ć(x, s) = -y exp    (8)

Oryginał do tego obrazu znajdziemy po przeprowadzeniu transformacji odwrotnej

S£~¹{C(x, 5)} = c(x, /)

polegającej na odszukaniu w tablicach⁽ⁿ przekształceń Laplace’a funkcji, będącej oryginałem dla danego obrazu (zob. tab. D2.1).

W wypadku równania (8) będzie to y-! /exp Hnk)

erfc

2 V/ /’

Tabela D2.1 Wybrane funkcje i ich obraz w przestrzeni Laplace’a

f(x, t)	F(x, s)
1	1
^erfc(2J	exp (-a^Is) ——-- (a S5 0) s
^2 exp (" 4/ ) ^erfC ( 2 V?)	exp (-aJs) ^ ę3/2

gdzie erfc (y) = 1 - erf (y), a = (x/VŹ)), natomiast erf (y)jest funkcją błędu Gaussa:

2 r    ₉

erf(y) = 9P(y) = —^ J exp (-ir)du.

"\TC o

Tak więc rozwiązaniem równania (1) jest funkcja (zob. rys. D2.1)

c(x, f) — c_s [1— erf (y)],    (9 )

^(li G.A. Kom, Th.M. Kom, Mathematical Handbook. McGraw-Hill Book Company, 1968.