skan0342

Zastosowanie transformacji Laplace’a 345

Lewą stronę równania (5) stanowi całka, którą obliczymy metodą całkowania przez części:

[dc(x,t)\    7 dc(x,t)

<=£ ^——— j = J ——— exp (-5/) dt = c (x, t) exp (-v/)|₀ +

+ s J c (x, t) exp (-st) dt o

i ostatecznie

^ ⁼ ~^c(^x’ °) ⁺ ?)}-

W rezultacie, zakładając przemienność operacji różniczkowania z operatorem $£, równanie (5) możemy zapisać w postaci

3²

{c(x, /)} - c(x, 0) = D —2 <£{c(x, 0}.    (6)

Po uwzględnieniu warunku początkowego (2), otrzymujemy w przestrzeni obrazu, zwanej czasem przestrzenią Laplace’a, równanie, w którym występują pochodne względem tylko jednej zmiennej x (s jest parametrem):

d² C (x, s) 3x²

C {x, s) = 0,

(7)

gdzie C(x, 5-) jest obrazem (transformatą) funkcji c(x, t). Jest to liniowe równanie różniczkowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach

y" + ay + by = 0,

którego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcji y = exp(rx). Znalezienie r wymaga rozwiązania równania charakterystycznego:

t² + ar + b = 0.

Tutaj a = 0, toteż

r = ±    = +

a rozwiązaniem ogólnym równania (7) będzie funkcja

C(x, s) = C,exp |-x ^    j + C₂exp (x ^ ^

Ze względu na warunek (4) C₂ = 0, natomiast stałą Cj wyznaczymy z równania (3), dla x = 0: