203

404 XX. Zastosowania geometryczne całek

404 XX. Zastosowania geometryczne całek

ka_r.

20.126. Wyznaczyć środek ciężkości bryły powstałej z obrotu dookoła osi Ox dioidy r = tz(l+cos0), a>0, O^d^n.

Wskazówka. x=a cos 9 (1+cos 6), y = a sin 6 (1 + cos 6).

20.127.    Wyznaczyć środek ciężkości obszaru ograniczonego cisoidą Dioklesa _v

= 2rsin² /, y = 2r sin² t tg t,    i osią Ox.

20.128.    Wyznaczyć środek ciężkości obszaru ograniczonego asteroidą x = aco%³, y = a sin³1, 0<f<|ir.

20.129. Obliczyć współrzędne środka ciężkości pola ograniczonego krzywą 2n

= a cos — x, osią Ox i Oy. b

20.130.    Wyznaczyć środek ciężkości bryły powstałej z obrotu dookoła osi Ox cykloidy x=a (r—sin t), y=a (1 -cos /),

20.131.    Wyznaczyć środek ciężkości obszaru ograniczonego linią x = t², y=t~y³,

20.132.    Wyznaczyć środek ciężkości luku linii x = t², y = t-$t³,

20.133.    Obliczyć środek ciężkości pola ograniczonego krzywą x = t² — t, y = t³+0 i osią Ox.

20.134.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości pola ograniczonego parabolami y² =

= ax, x² = ay, a> 0.

20.135.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości pola ograniczonego łukiem kardioidy r = a (1 4-cos 6).

20.136.    Obliczyć współrzędne środka ciężkości odcinka parabolicznego ograniczonego parabolą y-\]2px, osią Ox i prostą x = x₀.

§ 20.5. INNE ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK

Zadanie 20.137. Pręt metalowy o masie m osadzony jest na wale wirującym z prędkością kątową co. Długość pręta wynosi /, promień wału r. Obliczyć siłę odśrodkową F działającą na pręt w miejscu zamocowania go w wale (rys. 20.13).

Rozwiązanie. Siła dośrodkowa wywołana ruchem masy elementu pręta o długości Ax_t wynosi

mdx, , AF_i=-—w²x.

Całkowita siła dośrodkowa działająca na cały pręt wynosi

r + l

f- «™ i    .

AXi — 0 i = 1    <    J /    < L^ZJr

= \mu>²(2r + 1).

moS r² +2rl + l² — r²

T~ '

jp^ana siła odśrodkowa działająca na przekrój pręta w miejscu zamocowania go równa

sile dośrodkowej działającej na cały pręt:

F = \rmo\2r + l).

sfc

Zadanie 20.138. Obliczyć wydłużenie pręta pod wpływem własnego ciężaru. Ciężar pręta wynosi G, długość /, powierzchnia przekroju S. Pręt jest zawieszony na jednym j swoim końcu (rys. 20.14).

Rys. 20.14

Rozwiązanie. Wydłużenie elementu pręta o długości Ax_t wynosi

AW,=-

Gx,

8dzie E — jest współczynnikiem sprężystości (moduł Younga). Całkowite wydłużenie "^nosi

i

" Gx_t AXi [Gx dx G [VI' _ Gl

^{W =} l™o ,5, T' £Ś⁼ J T’ £S⁼£ZŚL2'>^_2£S’

n-roo    0

Zadanie 20.139. Obliczyć wydłużenie się stożka pod wpływem własnego ciężaru G, ^Je*eli stożek zamocowany, jak na rysunku 20.15. Wysokość stożka wynosi h, promień P°dstawy R. Stożek jest wykonany z materiału o ciężarze właściwym y i module Younga E.