91932

Zadanie.

(przykład zastosowania zmiennych fazowych jako zmiennych stanu, wyznaczenie równań układu i wyznaczenie sterowalności i obserwowalności)

Dane jest równanie różniczkowe opisujące drgania sprężyny o stałej k i współczynniku tłumienia c.

• wyprowadzić równania układu i odpowiadające tym równaniom macierze,

wyznaczyć sterowalność i obserwowalność.

położenie - x(t)

(j¹ x    dx

-+c—fkx=7, dla k=0,9 i c= 0,4 równanie przyjmuje postać:

dt²    dt

d²x    dx

— + 0,4 — + 0,9x=7 dt²    dt

Obierając zmienną fazową x(t) (położenie) jako sygnał wyjściowy y(t) oraz uwzględniając, że równanie opisujące zjawisko jest równaniem II stopnia, czyli, że wymaga to wprowadzenia 2 zmiennych stanu, otrzymujemy równania: y(t) = xi(t) oraz

x'i(t) = Xa(t), które stają się podstawą do napisania równań układu:

^X1 "^x2

= -0,9Xj - 0,4*2 ^{+ 7}

y = *i

Na podstawie tak sformułowanych równań tworzy się macierze a następnie na podstawie macierzy bada się sterowalność i obserwowalność:

1 0		0	0
0 0	,d =	0	0

	0	1		0	0
A =	- 0,9	-0,4	> b =	7	0

>c =