66174 str039 (5)

S 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 39

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Zbadać, czy funkcja /(z) jest holomorficzna:

a) /(z) = V,    b) /(z) = ż c) /(z) = z Re z.

Rozwiązanie, a) Bierzemy pod uwagę funkcję

(1)    w = z².

Podstawiając w = u+iv oraz z = x+iy, mamy

u + iv = (x + iy)², u + iv = (x² - y²) + i2xy. Stąd mamy natychmiast

u = x² — y²,    v = 2xy.

Wyliczamy teraz, że

(2)

oraz

(3)

du    dv

ŚT²*'-

du    dv

dy ⁼ ~^{2) =} ~dx'

Ze wzorów (2) i (3) wynika, że spełnione są równania Cauchy-Riemanna w całej płaszczyźnie i że pochodne cząstkowe występujące w tych równaniach są ciągłe w całej płaszczyźnie. Wobec tego funkcja w = z² jest holomorficzna w całej płaszczyźnie,

b) Biorąc funkcję

(4)    w = ż.

i podstawiając w = u + iv oraz z = x+iy, mamy

u + iv = x — iy,

skąd

__

u = x oraz	v — —y.
du	8v
— =1 oraz	- == — 1
dx	dy

Obliczamy

Ponieważ — ^ —, to funkcja w = z nie ma pochodnej w żadnym punkcie płaszczyzny. dx dy

c) Bierzemy pod uwagę funkcję (5)    w = zRez.

Przyjmując w = u+iv oraz z = x+iy, mamy

u + w = (x+iy)x.

Stąd

u = x oraz v = xy.