SCN
22

Zadanie 3.1.8. Sprawdzić, czy zbiór f/ jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej R², jeśli:

Zadanie 3.1.9. Sprawdzić, czy dane przekształcenia q> :L -+ V są, liniowe:

a)    Z = R\ V = R\ tf.(x,y,z))=(x+y-2z,x-3z),

b)    L = R³,    K =    R,    ę>((x,y,z)) = -3x+2y-z,

c)    Z = R³,    F = R^J,    <p((x,y,z)) = (2y+z,x,z-3),

d)    L = R³,    K = R⁴,    <p((x_ty,z)) = (3z,2x-z,3x + y,x+y+z),

e)    L = R,    V = R³,    ę>(z) = (5x,x^J),

0 L-R⁴, K = R³, <p((x,y,z,t)) = (0,-3y + xz-t).

Zadanie 3.1.10. Dany jest układ wektorów {a, b, c}. Wyznaczyć wektor x będący kombinacją liniową wektorów a, b, c, o współczynnikach ct,P,Y, odpowiednio:

a)    a = [2,-1,0,3], b = [-1,2,5,-2], c = [0,1,1,-3], a = 3, p =-2, y = 2,

b)    a = [0,4,-1,-3], b = [1,-1,-1,3], c=[-2,0,1,0], a - -1, P = 4, y --3,

«) a =    o = i / ,-z,—4j, c = [-4,0,0], a = 2, /* = 0, y = ~|.

Zadanie 3.1.11. Przedstawić, o ile to możliwe, wektor x jako kombinację liniową układu wektorów A:

a)    /l={a=[0.-l,3], b =[-1,1,0], c=[-5,3,-l]}, x=[3_i0,-2],

b)    /ł={a=[L-3,0], b=[-4,-U], c=[0,2,0]}, x=[-9,8.3],

c)    ^={a=[Zl,0], b=[-l,ąi], c=[3,2,l]}, x=[-5,-U],

d)    A-{a-[- 5,2, -1], b-[4,-3,3],, x-[1,2,9],

c) <4={a=[-7,3], b=[-5,2]}, x=[l,0],

0 /4={a=[-129], b=[8,-6]}, x=[4,6].

3.2. Baza i wymiar przestrzeni liniowych

Zadanie 3.2.1. Sprawdzić czy poniższe układy wektorów są liniowo niezależne:

a)    {ą b, c}={[4,0,0] ,[1,-3,0],[-2,2,5]},

b)    {a,b,c)={[-3-2,1],[-2,H0],[2,Q2]},

c)    {ąhc}={[23,-l],[a0l-2],[-l,0t4

d)    {a, b} ={ [5,—4,3],[—6,3,—1]},

c) {ąhc,d}={[U-l],[W2],[ą3_l0],[l,-3_i-7]},

0 {a, b} ={ [-2,6],[1,-3]},

g)    {ąb}={[7,-l],[2,-2]},

h)    {a, b,c}={[3.-5,4,0],[-L2,l,-3],[l-l,^-6]}.

Zadanie 3.2.2. Dla jakich wartości parametru peR układ wektorów A jest liniowo niezależny: a) -4={ąh^={[5A-2],^6_ip],[l,a-2]},