SCAN0779

Przestrzenie liniowe - zadania domowe.

1.    Zbadać, czy zbiór L jest przestrzenią liniową nad ciałem R, jeśli:

a) L = -{v = a + bj2 : a e R Ab e i?}-,

b) L = {z e C : |zj = 1}.

2.    Wyznaczyć kombinację liniową danych wektorów o danych współczynnikach a i :

a)    wj (x) = x² - 2x + 3, W2(x) = 1 - x² i w₃(x) = x + 2

■    «i = 2, «2 = —1    i «3 = -2;

b)    z\ = 1 - i, Z2 =    i, Z3 = -2 + i, zą    = 2 + 3/

ai = -1, a2 = 2, a3 = -3, au = 4;

c)    vi = [1,2,0,-1], v₂ = [-1,1,2,0], v₃ = [0,1,1,1] a\ =3, «2 = -1, a₃ = 2.

3.    Zbadać liniową niezależność danych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych nad ciałem R :

a)    vi = 1 - 2i, V2 = 2 + i;

b)    vi = 2 — 31, V2 = -4 + 6/;

c)    vi = [1,1], v₂ = [2,-1], v₃ = [0,1];

d)    w\(x) - x² + x +    \, W2(x) - x - 2,    w₃(x)    =    1;

e)    w\(x) = x² +x -    1, W2(x) = -x² +    2x + 1,    w₃(x) = x² - 1.

Jeśli wektory są liniowo zależne, to przedstawić jeden z nich jako kombinację liniową pozostałych.

3.    Wykazać, że dwa wektory w dowolnej przestrzeni liniowej są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest iloczynem drugiego przez skalar.

4.    Wykazać, że rozkład dowolnego wektora w ustalonej bazie przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.

5.    Wykazać, że dane wektory stanowią bazę w odpowiedniej przestrzeni liniowej L nad ciałem R i rozłożyć w niej wektor v

a)    z \ = 1 + /, Z2 = 1 - i; v = 2- 3/;

b)    w i (x) = 2x - 1, W2(x) = x + 2; v(x) = x + 1.

6.    Dany jest wektor w = 3u + 2v. Obliczyć <(w, u) i <(w,v) wiedząc, że \u\ = 2, |v| = 3 a <(w,v) = j7t.

7.    Obliczyć kąt < (w,v), jeśli u - 6m + 4n, v = 2m + 10«, a m i n są wersorami wzajemnie prostopadłymi.

8.    Niech

v = [l,4,-l], mT = [0,1,1], U2 = [1,0,1], ut= [1,1,0],

a)    Wyznaczyć koniec wektora w - 3ut - 2u2 zaczepionego w punkcie P_o(-l,l,0),

b)    Rozłożyć wektor ~v na kierunki wektorów u\, ut i wt-

9.    Wyznaczyć wersor o kierunku wektora ~v = [1,-2,2] i zwrocie przeciwnym.

10.    Wyznaczyć rzut wektora ~v = [2,1,-1] na kierunek wektora

u = [-1,1,2] oraz obliczyć kąt między wektorami "v i ~u.