1935182610

20

SPIS TREŚCI

Zadania: ciągi

Zadanie 9 Proszę zbadać, czy następujące ciągi są ograniczone:

d) do = 1A d_n+1 = y/2 + d„.

od pewnego miejsca:

1 1 n+1    n + n’

^n! i    »/-

= — 9) 9n= Vn. nⁿ

a) On = y/n; b) b_n= ( 1 — — ) ; c) Cn = —+... + —J—;

\ n)    n+1    n + n

,    1 - 3 -... - (2w — 1)

a) a_n--;

n

d) do = 1 A dn+1 = y/2 + d_n;

Zadanie 10 Proszę zbadać, czy następujące ciągi są monotoniczne ⁼ c)c-⁼

^s)u

Zadanie 11 Korzystając z twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznym, proszę uzasadnić istnienie granic podanych ciągów a następnie je wyznaczyć:

10gn    _ ^

a) a_n = ——: b) bo = y/2 A 6„+i = \/2 + 6„; c) co = 1 A Cn_+i = —-.

n!    1 + Cn

Zadanie 12 Niech k 6 N \ {0} bedzie dodatnią liczbą naturalną oraz dodatni ciąg (a_n)„_eN, taki że lim On — a. Proszę pokazać, że lim — \/a.

Zadanie 13 Niech x G X^N będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej (X, d). Proszę udowodnić następujący fakt:

(Vy € X)(xjest zbieżny do y <—> każdy podciąg x jest zbieżny do y).

Zadanie 14 Korzystając z definicji granicy ciągu liczbowego, proszę uzasadnić że:

1 -3n

1

a) lim -—— = —3; b) b > O —> lim Vb = 1; c) lim —^— = 0; d) lim sin ( — )

' - ~ 1 + n    n->oo    ⁷ n-»oo 2ⁿ + 1    ⁷ “    ¹ ~ ¹

Zadanie 15 Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic, proszę obliczyć granice następujących ciągów:

+ n — n;

n² — 3n³ + n⁴ 1 + 2+ .., + n    —    (^n + l)³³

n⁴ — n³ + n + 1 ’

(y/n + l)²²

'9n⁴ + 1

Zadanie 16 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, proszę oliczyć granice następujących ciągów:

V2" + 3" + 5”;

2 + n • sin n

[\/2 ■ n]

y/n\

n² +1    n    \/Aⁿ + 2

Tutaj mamy (Vx G R)(Vn G Z)([x] = n <—> n < x < n + 1).

+ ... H

2”