zad 2 przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe - zadania domowe.

1.    Zbadać, czy zbiór L jest przestrzenią liniową nad ciałem R, jeśli:

a)    L = -(y » a + bj? : a e /? A b e /?}*,

b)    L - {z € C : |ar| = 1>.

2.    Wyznaczyć kombinację liniową danych wektorów o danych współczynnikach cii :

a)    wj(jc) « x² - 2x + 3, W2(x) = 1 -x² i w₃(*) = x + 2 ai = 2, 02 = -1 i 03 = -2;

b)    z\ = 1 - 4 *2 = i* Z3 = -2 + 4 Z4 = 2 + 3/

Oj = -1, 02 = 2, 03= -3, 04 = 4;

c)    v, = [1,2,0,-1], v₂ = [-1,1,2,0], v₃ = [0,1,1,1]

Ol a 3, 02 = -1, 03 = 2.

3.    Zbadać liniową niezależność danych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych nad ciałem R :

a)    vj = 1 - 2/, V2 = 2 + 4

b)    V| =2 — 3/, V2 = —4 + 6/;

c)    v, = [1,1], v₂ = [2,-1], v₃ = [0,1];

d) W|(x) = X² +x + 1, W2(x) = x-2, w₃(jc) = 1;

e) wi(x) = x² +x- 1, W2(x) * -X¹ + 2x + 1, W3CO ■ x² - 1.

Jeśli wektory są liniowo zależne, to przedstawić jeden z nich jako kombinację liniową pozostałych.

3.    Wykazać, że dwa wektory w dowolnej przestrzeni liniowej są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest iloczynem drugiego przez skalar.

4.    Wykazać, że rozkład dowolnego wektora w ustalonej bazie przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.

5.    Wykazać, że dane wektory stanowią bazę w odpowiedniej przestrzeni liniowej L nad ciałem R i rozłożyć w niej wektor v

a)    zi = 1 + /, Z2 = 1 ■— /; v = 2 - 3/;

b)    wi(;r) = 2x- 1, w₂(*) = x + 2; v(x) = x + 1.

6.    Dany jest wektor w = 3u + 2v. Obliczyć < (w, u) i < (w, v) wiedząc, że |u| = 2, |v| = 3 a <(«,v) = —n.

7.    Obliczyć kąt < («, v), jeśli u = 6m + 4#i, v = 2m+ lOn, a m i n są wersorami wzajemnie prostopadłymi.

8.    Niech

?=[1,4,-1],    u\= [0,1,1], Sj-[1,0,1]. ul = [1,1,0].

a)    Wyznaczyć koniec wektora i? = 3u\ - 2i?2 zaczepionego w punkcie P₀(-1,1,0),

b)    Rozłożyć wektor V na kierunki wektorów u\, ul i ul.

9.    Wyznaczyć wersor o kierunku wektora V = [1,-2,2] i zwrocie przeciwnym.

10.    Wyznaczyć rzut wektora = [2,1,-1] na kierunek wektora U = [-1,1,2] oraz obliczyć kąt między wektorami 7 i 7?.