720154749

4.3. Pierścień wielomianów 15

zad.2.4. Sprawdzić, czy zbiór I = {/ 6 P : 3 xo € [0,1] : f(xo) = 0} jest ideałem w pierścieniu funkcji rzeczywistych ciągłych na odcinku [0,1] (pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia funkcji).

zad.2.5. Sprawdzić, czy zbiór / = {/ 6 P : /|[o,i] = 0} jest ideałem w pierścieniu funkcji rzeczywistych ciągłych określonych na R (pierścieniem z działaniami dodawania i mnożenia funkcji).

zad.2.6. Sprawdzić, czy zbiór I = {o = (a_n)^₌₁ : a zbieżny} jest ideałem w pierścieniu wszystkich ciągów rzeczywistych, (działania: dodawanie i mnożenie ciągów).

zad.2.7. Niech P będzie pierścieniem, I - ideał w P. Wykazać, że zbiór Rad(/) := {a 6 P : 3 n £ N : aⁿ G 1} jest ideałem w P, (ideał ten nazywa się radykałem ideału I).

zad.2.8. Niech P, R będą pierścieniami / C P, J C R. Wykazać, że / x J jest ideałem w P x R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest ideałem w P i J jest ideałem w R.

zad.2.9. Zbadać z definicji pierwszość i maksymalność w Z ideałów: Ii = (14), Ii = (13). zad.2.10. Wyznaczyć wszystkie ideały w Zio i zbadać, które z nich są pierwsze, a które maksymalne.

4.3 Pierścień wielomianów

Wielomiany jednej zmiennej

Niech P będzie ustalonym pierścieniem. Określmy zbiór

R := {(a₀, Oi,...) € P^N° : 3 i₀ € N₀ : V i ^    : a, = 0}

Na zbiorze R wprowadzamy następujące działania:

(ao, aj,...) + (bo, &i,...) — (ao + bo, ai + 6x,...) (ao,ai_l...,)(6_0l6i,...) = (co,Ci,...) gdzie c_k= aĄ, dla k e N₀. Bezpośrednie przeliczenie prowadzi do następującej własności.

Własność 4.3.1. (1) Działania określone powyżej wprowadzają na R strukturę pierścienia.

(2) Odwzorowanie i : P 3 a —»(a, 0,0,...) € R jest injektywnym homomorfzmem pierścieni.

Definicja 4.3.2 (zmienna nad pierścieniem). Element (0p, lp, 0p, 0p...) wprowadzonego powyżej pierścienia R oznaczamy przez X i nazywamy zmienną nad pierścieniem P.

Definicja 4.3.3 (pierścień wielomianów). Pierścień R z określonymi powyżej działaniami nazywamy pierścieniem wielomianów nad pierścieniem P jednej zmiennej X i oznaczamy P[X].

Elementy tego pierścienia nazywamy wielomianami jednej zmiennej nad pierścieniem P.