funkcjonalna

Podstawy analizy funkcjonalnej - egzamin- zestaw 3

1 Sprawdzić, czy przestrzeń m„ - {(a_L. a₂,...) : \/ _€N A„>„₀ a_n = 0} jest gęsta w przestrzeni c₀ = {(m, a₂....) l*^mn—oc a„ = 0} z normą ||(_ai. o₂,... )|| = sup„ |a_n|.

2.    Udowodnić, że przestrzeń l_x jest przestrzenią Banacha.

3. Spiawdzić, czy funkcja S({xi. r₂). (s/i-.y2)) = Xi.Vi + 2x₂y₂ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R².

4.    Dowieść, że kula K(x₀.r) = {x £ X : d(x.y) < r} jest zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej (X.d). r > 0.

5.    Niech H = R². a iloczyn skalarny dany jest wzorem ((n,i₂), (yi.y₂)) = x_lVl + x₂y₂ - ±(_Xly₂ + x_2Vl). Zastosuj ortonormalizację Grama-Schmidta do wektorów (1; 1) oraz (0; 1).