140
Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rollc'a na przedziale I—1.1). Narysować wykresy tych funkcji.
a) u(x) = |»in |p|j b) u(x) = 1 - |x|;
, , . . .« sin — dla x 0,
c) w(x) = arcsin|x|; d) z(xj = ć * r ’
l 0 dla x = 0;
Zastosować twierdzenie Lagrange'a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wyznaczyć odpowiednie punkty: a) u(x) = e*. [0,2); b) u(x) = x3 + x, [—1,1);
c) /(x) = arctgx, [—1, \/5]; d) g(x) = v/3x3 + 3x, [0,1).
Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności:
a) |arctga — nrctgii| < |a — 6| dla n,6 € R; b) In — < 6 — a dla 1 < a < 6;
a
c) x < arcainx < ■■. ■ dla 0<x<l; d) e* > ex dla x>l;
vl —X2
e) n(6 — a)an_I < 6" — an < n(6 — a)6n_I dla 0 < a < b oraz n 6 M \ {1).
Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:
•) “W = J- ~ Y ~ **! b) i»(x)«e*(x+l); c) «d(x) “ x — Zifx\ d) z(x) «»xlnł x;
e) /(x) = x* — 3Qx3 + 226x; f) «Kx) *» xe_3x;
I)4(x) = 4x+i; =
Narysować wykresy funkcji / : R —> R, które spełniają wszystkie podane warunki: ■) /*(*) > 0 <0b x € (—00, l)U(4,oo), /'(x) < 0 dla x 6 (1,4), ale /'(I), /'(4) nie istnieją-,
Zadania
b) /'(*) > 0 dla Sf||| 1 < /'(*) < Ó dla każdego x > w- (u = .
/;(■) = 4/(1) = 2:
c) I'(x) > ® dla każdego x e R, Jim/'(xj = 0;
d) /'(*) < ° d|a każdego * < 1. /'(*)> 0 dla każdego * > 1, /'(l) nie istnieje;
e) /l(0)=-l./i(0) = oo, lirno/'(x) = 0o;
f) /'(*) < 0 dla każdego x € R \ {-2}, /'(-2) = 0.
Na rysunkach zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.
• Zadanie 5.6
Uzasadnić podane tożsamości: a) arctgz + arcctg* = ^ dla z e R;
d) lim xarcctgx;
c) liin(cosi)1;
f) lim —z——TT ' z-t x5-5x + 4
x10 - 10x + 9