DSC07105 (2)

140

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

Zadania

• Zadanie 5.1

Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rollc'a na przedziale I—1.1). Narysować wykresy tych funkcji.

a) u(x) = |»in |p|j b) u(x) = 1 - |x|;

, , . . .« sin — dla x 0,

c) w(x) = arcsin|x|; d) z(xj = ć * ^r ’

l 0 dla x = 0;

«)/() = ⁱⁿ ss? 0 »(*) = s/N- I; g) h(x) = J - arclg|x|.

■ Zadanie 5.2

Zastosować twierdzenie Lagrange'a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wyznaczyć odpowiednie punkty: a) u(x) = e*. [0,2); b) u(x) = x³ + x, [—1,1);

c) /(x) = arctgx, [—1, \/5]; d) g(x) = _v/3x³ + 3x, [0,1).

• Zadanie 5.3

Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności:

a) |arctga — nrctgii| < |a — 6| dla n,6 € R; b) In — < 6 — a dla 1 < a < 6;

c) x < arcainx < ■■. ■ dla 0<x<l; d) e* > ex dla x>l;

vl —X²

e) n(6 — a)a^n_I < 6" — aⁿ < n(6 — a)6^n_I dla 0 < a < b oraz n 6 M \ {1).

a Zadanie 5.4

Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:

•) “W = J- ~ Y ~ **! b) i»(x)«e*(x+l); c) «d(x) “ x — Zifx\ d) z(x) «»xln^ł x;

e) /(x) = x* — 3Qx³ + 226x; f) «Kx) *» xe^_3x;

**> - si-

I)4(x) = 4x₊i; =

• Zadanie 5.5

Narysować wykresy funkcji / : R —> R, które spełniają wszystkie podane warunki: ■) /*(*) > 0 <0b x € (—00, l)U(4,oo), /'(x) < 0 dla x 6 (1,4), ale /'(I), /'(4) nie istnieją-,

Zadania

b) /'(*) > ^{0 dla} Sf||| ¹ < /'(*) < Ó dla każdego x > w- (u ₌ .

/;(■) = 4^{/(1) = 2:}

c) I'(^x) > ® dla każdego x e R, Jim/'(xj = 0;

d) /'(*) < ° d^|a każdego * < 1. /'(*)> 0 dla każdego * > 1, /'(l) nie istnieje;

e) /l(0)=-l./i(0) = oo, lirn_o/'(x) = 0o;

f) /'(*) < 0 dla każdego x € R \ {-2}, /'(-2) = 0.

Na rysunkach zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.

• Zadanie 5.6

Uzasadnić podane tożsamości: a) arctgz + arcctg* = ^ dla z e R;