DSC07102 (2)

134

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

• Przykład 5.8

Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L'Hospitala?

hC

z + sin z

b) Cm

z³ sin -

j firn--•

*—o snx Rozwiązanie

x — sm x

a) lim - Ss k ffi_m    [lim (zsin = 10 = 0

»—o sms U-osinzJ L*-o\

(zobacz Przykład 2.7 a)}. W tym przykładzie nie można stosować reguły de LUospitaln, bo nie jest spełniane założenie o istnieniu granicy ilorazu pochodnych. Rzeczywiście nuuny

Cm —-rr~ — li™

*—o (sin z)    *—o

2xsin — —cos -

X    X

Ostatnia granica nie istnieje, bo przyjmując x'_n =    — otrzymamy Cm xi = 0 oraz

mjr    n—c«

HMM i

2^an—--cos —

Cm -^3-^ = -l.

*—oo    COS Zn

+ 2n*

Przyjmując natomiast rj[ =

otrzymamy lim z„ = 0 oraz

2xq słn 37 — cos 37

lim -5L—5=. = 1.

«-«#    COSZn

*)

1 +

1 + 0

z-ans x-*, smz 1-0

= 1.

Także * tym przypadku nie można stosować reguły de LHospitala, bo nie jest spełnione takgraie o istnieniu granicy ilorazu pochodnych. Rzeczywiście

(ac+sinz)'    1 + cosz

hm 7--—(7= lim -—.

*—w (x — sinzy    *—o© 1 — cosz

Granica u nie fcbmje. bo przyjmując x_n = § + 2n* otrzymamy lim z' = ę» oraz

un, iisa^.L

«-» l — cos**

Przyjmując natomiast =» z + 2n* otrzymamy lim < = co oraz

Przykłady

135

Rozwinięcie Taylora funkcji

• Przykład 5.9

Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange’* dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz n :

a)    f(x) - - ^a-o = 2, n = 3;

b)    /(*) = V*. *0 = 1, n = 3;

c)    /(ar) = sin xo = n = 5.

Rozwiązania

Wzór Taylora dla funkcji /, punktu zo oraz liczby naturalnej n ma postać:

/<*)=j m + ^ <* -    (* - 3 + • • •+*»r‘

■3B

d«)(_c)

gdzie c jest pewną liczbą między z₀ i z. Wyrażenie ■■ ^    (z—zo)" nazywamy n-tą

resztą Lagrange'a.

a)    Dla funkcji /(z) a j mamy

Stąd /(2) = 2, /'(2) = -1, /"(2) = 2. Wtór Taylora dla funkcji /(*) = —j , punktu zo = 2 oraz n = 3 przyjmuje postać

-6

^ =2 ₊ ^(x-2j ₊ |(_3:-2)» ₊ 55E_(t_₂₎»

= 2-(x-2) + (x-2)’-|5^,

gdzie c jest pewną liczbą między 2 i z.

b)    Dla funkcji /(z) = /x mamy

B—^ Ml

Stąd

/ci)=i, /'(o=i r(i)=-j-

Wzór Taylora przyjmuje zatem postać

1    _1 t -Ł

v/5 = l +    +

₌

* 2    8 ^T Ifiy'?