IMG 24

154

Twierdzenia o funkcjach z pochodn

ymi

lub lim /(x) = lim g(x) = 0 oraz istnieje granica właściwa lub niewłaściwa lim £i®) *„    *~^,*o 0'(z)’

to

lim    m = lim

g(x)

g'(x)'

Reguła de L’Hospitala jest również prawdziwa dla granic jednostronnych oraz dla granj. w nieskończoności.

a) lim Ml±£) p B _llm    1±E = l_lltl _J_ ₌ |

*—0    X    o    X—»0    1    *—*0 1+1

Inx

5-= lim ('5!!1£ . _1_) =    =

_ x—»0+ \ X COSX/

= lim *

b)    lim *—o

^c)    (x -1)² M ~ --T-    2(x -ry “ 0-

Uwaga. Jeżeli x —» 1, to rozważana granica nie istnieje.

x_o+ In sin x -<» 2* - 2^2-*

*o+

21 lim

(2«+2²-*) ln 2    4 ln 2

= —oo.

d) lim

*—•—00

e) lim

x e -1

n — 2 arc tg x o h

M = Hm

X—»—OO

e — 1 oh .. —=- - = hm

O    x —* — o

X

(4)

1

—oo

= lim e^x =e = e° = 1. *—• — 00

1 + X²

2 (x² + x)

= lim ^V-— ~

x^a +1

- = 2.

-1

f) lim [cos ln(l - x)l Jgggp = lim    ^x) ggj g Hm -*4^-

«-.j- L 2x    'J ***** z—ł- l ■! _x_i- _cin JL

C°6£
		cos
	r -|	2 *
	2x^2Hm ^zx	^COS 2x
	*—i~ 7rsin ——	x—•X” 1 X
	L 2x.

2x_ i__L.)

JL V 2i²/

Pierwsza z tych granic jest oznaczona i równa się —. Druga jest nieoznaczona i obliczymy

TT

ją za pomocą reguły de L’Hosp.itala:

cos³ —    —2 cos    sin

-1

Hm _—2x o h j._m -2x-_2x—V 2x /. _ ₀.

•-•r

Ostatecznie szukana granica jest równa — • O — 0.