analiza 1 zadania2

146

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

Obliczymy teraz granicę w wykładniku. Podstawiając u = - mamy z —» oo <=> u —> 0⁺

lim z In cos- oo-0 = lim

^lncosu o h ,_im cos u ₌

u—*0+    u 0 ^:

+0+ 1

sin u

= - lim -= 0.

u—*0+ cos U

Ostatecznie szukana granica jest równa e° = 1. Symbole (*), (**) oznaczają tutaj to samo, co w przykładzie h).

lim tg x In sin z

k) lim (sin x)

*-ł“

tg x In sin x

= e

Obliczymy teraz granicę w wykładniku. Mamy

cos z sinz

,.    .    .    .    .. In sin z o H ,.    _Sinz

lim tg z ln sin z «• o = lim —j- - = lim -,    —=-

x—»-    x-»-    ¹    0 x~f-    ¹    1

tg z

= — lim sin z cos z = 0.

tg²z cos² z

Ostatecznie szukana granica wynosi e° = 1. Symbole (*), (**) oznaczają tutaj to samo, co w przykładzie h).

i    ln(x+l)    Hm ii-iii

I) lim (z+1)^ Pi = lim e ^    = e^1-”    *    .

X—*oo    X —oo

Obliczamy teraz granicę w wykładniku. Mamy

ln(z + 1) oo h

lim

X—‘CO

±i ₌ ,_im hUL -

OO    X—"OO    1    X —»0O Z+1

2\/z

= 0.

Zatem poszukiwana granica równa się e° = 1. Symbole (*), (*») również tutaj oznaczają to samo, co w przykładzie h).

• Przykład 5.8

Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L’Hospitala?

2 ■ ¹ x¹ sm -

_x.

a) lim -

x—o sinz

Rozwiązanie

b) lim

x + sin x

x-»oo x — sm x

1

a) lim —_;—— = [lim ^X 1 [lim fzsin -^1 =10 = 0 x—o sinz Lx—osinzJ lx—o \ z/J

(zobacz Przykład 2.7 a)). W tym przykładzie nie można stosować reguły de LĆHospitala, bo nie jest spełnione założenie o istnieniu granicy ilorazu pochodnych. Rzeczywiście mamy

( , . 1\'    „ . 1 1

z sin -    2z sm--cos -

lim

x—o    (sin x)' x—o

i;~ A-iL = i_im -£-Ł

Przykłady

147

Ostatnia granica nie istnieje, bo przyjmując x'_n = —— otrzymamy lim x'_n — 0 oraz

2T17T    n—*co

„ , . i i

2i„ sin —--cos —t-

lim --2a.=-l.

n—co    COS X_n

Przyjmując natomiast x” =

1

7r + 2nir

otrzymamy lim x'ń = 0 oraz

„ „ . 1 1 2x_n sin ~jy - cos -u

lim --£* ₌ !.

n—co    COS X ń

1 +

i-o

.*    .. x + sinz ..

d) lim -:- = lim

x—*co x — sin X    x—co

sin x ^{2 1}

Także w tym przypadku nie można stosować reguły de L’Hospitala, bo nie jest spełnione założenie o istnieniu granicy ilorazu pochodnych. Rzeczywiście

(i + sin x)'    .. l+cosz

^llm 7-=-v — ^l,m I-•

x— co (i — sini;    x—oo 1 — COSI

Granica ta nie istnieje, bo przyjmując x'„ = ^ + 2n?r otrzymamy lim x'_n — oo oraz

2    n—»oo

lim ₁^1+COSIr=l.

n—*oo 1 — COS X_n

Przyjmując natomiast x'ń = 7r + 2n7r otrzymamy lim = oo oraz

1+cosiń

hm 1-7, = 0.

n—co 1 — COS I„

Rozwinięcie Taylora funkcji

• Przykład 5.9

Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz n :

^a)    /(*) =-T’ *0 = 2, n = 3;

X — 1

b)    f(^x) = V^x, x₀ = 1, n = 3;

X

c)    f(^x) = sin xo = 7r, n = 5.

Rozwiązanie

Wzór Taylora dla funkcji /, punktu io oraz liczby naturalnej n ma postać:

/(*) = / (*o) + — (X - xo) + —2j— (X - *o) + .. • +    _ _t^| (X - X0)

/⁽ⁿ⁾ (c)

(i - I₀)ⁿ

1

-

2

■^ = 1+2 = 1.