13062 IMG 27

156

Twierdzenia o funkcjach z pochodnym;

Obliczymy teraz granicę w wykładniku. Podstawiając u — — mamy x > oo    < u —*q+

oraz

lim jlncos- <»-o

i—»oo    X

In cos u lim -

u—>0+    U

0 H

- = lim

0    u—>0+

— sin u

cos u

1

sin u

- lim -= 0.

u—*0+ cos u

Ostatecznie szukana granica jest równa e° = 1. Symbole (*), (**) oznaczają tutaj to samo, co w przykładzie h).

lim tg x In sin x

k)

tg*    ^    tg z ln sin z    ^ ~

lira (sin x) 1⁰⁰ = lim e    = e

Obliczymy teraz granicę w wykładniku. Mamy

cosx

lim tgxlnsinx oo-o = lim —$SM = li_m -. siny. —

*-f    *-$- m    __¹    1 -

tg X    tg² X cos² X

= — lim sin x cos x = 0.

Ostatecznie szukana granica wynosi e° = 1. Symbole (*), (**) oznaczają tutaj to samo, co w przykładzie h).

1    ln(z+l)    l_im

I) lim (x+l) oo° = lim e *    = _e^x-*°°

*—*00    x—*oo

Obliczamy teraz granicę w wykładniku. Mamy

1

lim    S|g l_im ŁŁi ₌ i_lm    =0

*•—oo    y'!    OO z—.oo 1    x-.oo X + 1

2a/x

Zatem poszukiwana granica równa się e° = 1. Symbole (*), (**) również tutaj oznaczają to samo, co w przykładzie h).

• Przykład 5.8

Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L’Hospitala?

₂ . 1 x* sin —

. „ x + sinx b) hm -:—•

^f x—*qg .T — siu X

a) lim —:— *-*o ginx

Rozwiązanie