analiza 1 zadania5

152

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

9! = 362880 < 3 • 10®, więc dla n ^ 10 mamy n! > 3 • 10®. Zatem liczba e obliczona z dokładnością 10~® jest równa

^{1 +} ir^f2!⁺”'⁺9T ^{= 1+}l ⁺ 2 ⁺ 6 ⁺ 24⁺l20 ⁺ 720 ⁺ 5040 ⁺ 40320 ⁺ 362880 « 2.7182815.

Uwaga. Dokładną wartością liczby e jest 2.718281828 ... .

b) Dla funkcji f(x) — \/T + x oraz k ^ 2 mamy

/<*>(*) = (-!)

*₊i 1 ■ 3 • 5 •... ■ (2fc - 3) 2*

więc

r\ o) = (-o

»:+i

1-3-5-

2*

■ (2k - 3)

Wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = \/\ + x ma postaó

1 • 3 ■ 5 • ■ ■ ■ • (2fc - 3) 2" • n! • ^(l + c)³"-¹"

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i x. Aby uzyskać żądaną w zadaniu dokładność wzoru przybliżonego, reszta Lagrange'a we wzorze Maclaurina powinna spełniać nierówność

(-1)

2n—1    100"

„.ul 3 5-...-(2n-3)    1

2"n!_v/(l +c)

^gdziecG(°’T5ó)-

Mamy

, .\.+ i 1 • 3 ■ 5 • ... ■ (2n — 3) _J_ ^K ’    2"n!_v/(l + c)»"-‘    100"

^ 1 • 3 ■ 5 •. ■ ■ • (2n — 3) (J_y ^ _1_ 2ⁿ»»!^/(l + 0)^an_1    '100/ ^ 10⁴.

Łatwo zauważyć, że już dla n = 2 ostatnia nierówność jest spełniona. Zatem

%/TÓT « 1 + Hi = 1.005

z dokładnością 0.0001.

Uwaga. Dokładna wartość \ZToT jest równa 1.004988... .

Zadania    Odpowiedzi str. 266

KI 5.1

Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [-1,1). Narysować wykresy tych funkcji.

a) u(i) = |sin y|;    b) u(x) = 1 - |x|;

...    ...    .» , » f ^x3 sin “ dla x jt 0,

c) w(x) - arcsin|x|;    d) z(x) = <    x

[0    dla x = 0;

Zadania

153

e) /(i) = sin 7rx;

f) g(x) = v/R ~

g) h(x) = - - arctg|x|;

h*) p(x) =

[ In (l + x²)

dla x ^ O, dla x = 0.

Zastosować twierdzenie Lagrange’a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wyznaczyć odpowiednie punkty:

a)u(x) = e*, [0,2];    b) v(x) = x³ + x, [-1,1];

^c)/(x) = ^arc tgx, [-1,^3];    d) g(x) = \/3x³ + 3x, [0,1].

Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:

a) |arc tg a — arc tg 6| < |a - 6| dla a, 6 g R; b) ln - < b - a dla 1 < a < b;

a

x

c) x < arcsinx <    .    •.-.== dla 0 < x < 1; d) e^x > ex dla x > 1;

Vl — x²

e) n(b - a)aⁿ~¹ < bⁿ — a." < n(b — a)bⁿ~^l dla 0 < a < b oraz n g N\ {1}.

5.4

Znaleźć przedziały tnonotoniczności podanych funkcji:

b) v(x) = e^I(x + 1); d) z(x) = xln² x;

\ / \ •** •*» 2 a) u(x) = — - y - X ^;

c) w(x) = x — 3 yx; ^e) f(^x) =    — 30x² + 225x;

g) h(x) =

3 — x² ’

i) <j(x) = 4x + —;

X

f) g(x) =xe ³¹; h) p(x) =

J') ^r(^x) =

x

lnx’

1

x ln x

Narysować wykresy funkcji / : R —> R, które spełniają wszystkie podane warunki: a) /'(x) > 0 dla x g (—oo, l)U(4,oo), /'(x) < 0 dla x g (1,4), ale /'(1), /'(4) nie istnieją;

^a) f'(^x) > 0 dla każdego x < 1, f'(x) < 0 dla każdego x > 1, /'_(1) = 1,

/+(!) =-5. /(I) = 2;

c)    }'(x) > 0 dla każdego x g R, lim /'(x) = 0;

X—*00

d)    f'(x) < 0 dla każdego x < 1, f'{x) > 0 dla każdego x > 1, /'(1) nie istnieje;