analiza 1 zadania3

148

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

gdzie c jest pewną liczbą między zo i x. Wyrażenie -—p-ć (z — zo)ⁿ nazywamy n-tą

n!

resztą Lagrange’a. Zakładamy tutaj, że funkcje /,    /",.. •    są ciągle na prze

dziale [zo,z], a pochodna f'ⁿ' istnieje na przedziale (xo,x).

a) Dla funkcji /(z) = —- mamy

X — 1

Av X — 1 — X    ”“1    »/// \    2    e^,n f \    ®

^ “ (z - 1)’ ~ (z-1)²’    ^    " (z - l)³ ’ ^f ~ (z-l)*'

Stąd /(2) = 2, /'(2) = -1, /"(2) = 2. Wzór Taylora dla funkcji /(z) =    ¹    , punktu

X — 1

xo = 2 oraz n = 3 przyjmuje postać

_ “⁶ x

= 2 + -l(z-2) + |(z-2)^J +

(c-1)⁴

z -1    ” ■ 1! '    '    2!'    '    3!

(*-2)³

' (z — 2)³

= 2 - (z - 2) + (z - 2)³

gdzie c jest pewną liczbą między 2 i z. b) Dla funkcji /(z) = \/x mamy

(c-ir

Stąd

^f{x) ~ 2y/x’ ^f"^{x) WZ' ^r{x) ~ 8V^'

/(l) = 1. /(!)*= 5, /"(

Wzór Taylora przyjmuje zatem postaó 1

3

= l + I(x-l)‘ ₊ Ii(*-l)’+8^.(z-l)^s

z-1 (z - l)^ł (z - 1)*

2    8    ⁺ i_6>/? ’

gdzie c jest pewną liczbą między 1 i z. c) Dla funkcji /(z) = sin ^ mamy

/(z) = icos|, /"(z) = -7 sin /"(z) = - ^cos|, /^<4,(x) = sin |

2 2’

4    2’

8 2’

,(5), ,    1    z

/' '(z) = — cos —. ³    32    2

Stąd

/(*) = !. /'(») = 0, /"(») = ", r(*)= 0. /⁴⁾(»r) = -l.

Wzór Taylora dla tej funkcji, punktu zo oraz n = 5 ma zatem postać

1 _1_ _1_ £ ^sin | = 1 + {](* ~ir) + -jf (* - *)* + ^(x - w)³ + -^-(x - *)⁴ + ³² ₅,~^(^x ~ *)*

_    (z-*)’    (z-rr)⁴    «*§,    ,

- ¹--⁺ “384"^ ⁺ 3840^1{X *> '

Przykłady

149

gdzie c jest pewną liczbą między k i x.

• Przykład 5.10

Napisać wzory Maclaurina dla podanych funkcji z n-tą resztą Lagrange’a: a) /(x) = sin2x;    b) /(x) = xe^r;    c) /(x) = shx.

Rozwiązanie

Dla xo = 0 wzór Taylora przyjmuje postać:

_rts _rfm . /'(O)    /"(O) ,    /^<n_,,(0)    , . /<">(c) „

i(x)=m+— *+ — x +...+    «    + -^-*

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i x. Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina z resztą Lagrange’a.

a) Dla funkcji /(x) = sin 2x mamy

f'(x) = 2cos2x, f"(x) = —4sin2x, f'"(x) = —8cos2x, /*⁴'(x) = 16sin2x.

Na tej podstawie możemy wysunąć hipotezę o postaci A'-tej pochodnej funkcji / :

f^(k\x)

2^k sin 2x dla k = 4p, 2^fccos2x dla fc = 4p+l, —2*sin2x dla k — 4p + 2, —2^k cos 2x dla k = 4p + 3.

Powyższa hipoteza powinna być uzasadniona przez indukcję matematyczną. Nieskomplikowany dowód pozostawiamy Czytelnikowi. Korzystając z tego wzoru mamy

/<*>(())

0 dla k - 4p,

2^k dla k = 4p + 1, 0 dla k = 4p + 2, —2* dla fc = 4p + 3

dla k — 0,1,2,... . Podstawiając te pochodne do wzoru Maclaurina otrzymamy

o a 2 OoSatł    X

sin 2x = 0 + —x + -X¹ - -x³ + — + ...+ —-

^{= 2l}-3^{l3 +} -⁺Td

2ⁿ sin 2c dla n = 4p, 2”cos2c dla n = 4p+l, —2ⁿsin2c dla n = 4p + 2, -2" cos 2c dla n = 4p f 3 2” sin 2c dla n = 4p,

2” cos 2c dla n = 4p + 1,

—2ⁿ sin 2c dla n = 4p + 2,

. —2ⁿcos2c dla n = 4p + 3,

0^

4!

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i x. b) Dla funkcji /(x) = xe^z mamy

J'(x) = e¹ + xe^x = (x + l)e^x, /"(x) = e* + (x + l)e^x = (x + 2)e*,