DSC07099 (5)

128

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

Ffanfajah jest nrm tonąca na przedziale (l.cc). Podobnie.

V(x) < 0 <=> 0 < x < 1.

Dmhcja & jest ntea wiigąo na przedziale (0.1).

d) Dla faafccjip(x) = r+anx mamyp'(x) = I+cdsx. Szukamy przedziałów, na których pocbcdsa p jesz dodatnia Mamy

p[z) > 0 « I + coz > 0 <=5- ij^rł 2n.T. gdzie n € Z.

Ponieważ w punktach pentan x = «r + 2nr oklejają" się przedziały, na których pochodna jea dodatnia, a funkcja jest tam cięgła, więc jest rosnąca na całej praatej.

e) Łhwłaną hakcji y D_ę = (—oc,2) u (2. co). Mamy

*(*> =

stąd ^ = 25_t> Zbadamy, na których przedziałach pochodna ą jest dodatnia. Dla z € D_f mamy

ę(x)>0«•    ~ ^ >0 <=> x*(x-3) >0<=> 3<x < oo.

Zatem fenfcrja f jest roanąca na przedziale (3.oo). Ponieważ w punkcie xo - 0 „sklejają" aą prardmły. na których pochodna ą jest ujemna, a funkcja jest tam ciągła, więc jest aójąj aa przedziałach (—00.2). (2.3).

f) nórdriną frakcji f i jej pochodnej jest R. Dla x € R mamy

r(s) = e*(ccax - tin x).

Badamy, na których przedziałach pochodna jest dodatnia Mamy

r /x) >§« <*(cnax-siax) >O «=» cnax>sinx <=> x € (J + 2*x, J + 2/brJ.

KZ

Zetem kakp rys loanąra na przedziałach pcnad

HH (~+2*»,j+2t»)

oraz wikjyi aa przrdnałarb postaci

(l^+2fcr,T^+2fcr)*

g) Wymarzymy najpierw dacdzinę hacfcp u. Mamy

9z-x*?0    x(3-xX3 + x)*0 «=> x€(-oo.3l*j(0.3|.

Zaum zbifir D_m = (-oc.-3| jJtt,3| jeat dziedziną badanej funkcji Obliczymy teraz jej pr^heds* Mamy

2vW-x»7

Daaddaą pcchtdo* jeat zł** IV - (-oo.-3) j (0.3). Zbadamy oberoia. gdzie na Aiorzt pochodna jeat dodatnia Mamy

’ ^>ł*^    ^>0 —* »-3»*>0 x« (0,^3).

Przykłady

129

Zatem funkcja u jest rosnąca na przedziale (0. >/§). Podobnie motany pokaźne, ie funkcja u jest malejąca na przedziałach (—oo_t0), (V5,3).

h) Dziedziną funkcji v jest przedział [—2,2j. Pochodna tej funkcji ma ptfłf

*'(.) = !-

i dziedzinę (-2.2). Zbadamy teraz, gdzie na przedziale (-2.2) pochodna jest dodatnia Mamy

v(x) > 0

I -

>o

Funkcja v jest zatem rosnąca na przedziale (—>/3, >/§). Postępując analogicznie otrzymamy, że funkcja v jest malejąca na przedziałach (-2,->/S), (V3,2).

I) Dziedziną funkcji w jest zbiór

... U (-rr, 0) U (0, rr) Lf(ir_v2ff) U... . Pochodna tej funkcji ma post ad

w'(z) = 4 - -oraz tę samą dziedzinę co funkcja. Ponieważ pochodna jest funkcją okresową o okresie x, więc badanie monotonie zności funkcji v możemy ograniczyć do przedziału (0,r). Zbadamy teraz, gdzie w przedziale (O.ir) pochodna jest dodatnia. Mamy

w'(x) > 0 <=*> 4 - ■    > 0 <=> sin³ x > - <=> sini > - <=> x €    •

sin x    4    4    \o ov

Zatem funkcja w jest rosnąca na przedziale    Rozumując podobnie otrzymamy,

że funkcja ta jest malejąca na przedziałach (°»■ Ostatecznie funkcja w

jest rosnąca na przedziałach postaci + fcr, — + fcrj oraz malejąca na przedziałach

postaci (far, J -f A:7r|, (y+fe n(k +1)|, gdzie k € Z.

• Przykład 5.5

Narysować wykresy funkcji /: R —• R, które spełniają wszystkie podane warunki: •) /'(*) > 0 dla każdego zjf2, J*(2) = oo.;

b)    /-(-I) - 0. *;(-!) - 2. fon/(x) *=0;

c)    h'(x) < 0 dla każdego x £ 3, J»'(3) =» 0.

Na rysunku zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.

Rozwiązanie

Liczba w kółku oznacza kolejny numer warunku, który spełnia wskazany fragment wykresu funkcji.