DSC07103 (2)

136

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

gdzie c jest pewną liczbą między 1 i x. c) Dla funkcji /(*) = sin - mamy

/(*)» |cot|. /"(ar) = “Sin |,

r'(x) = -ico.|. /«>(*)

I . x ~ sin -16 2

oraz

Mx,=₅Lcos|:

Stąd

/(*) = 1. /» = o. rw - -J* ^r''^W = °-    = Tą-

Wzór Taylora dla tej funkcji, punktu *o oraz n = 5 ma zatem postać

I    1    1    ■ -te

dn | = 1 + jj(z - r) + “2^(* “    ⁺ 5?    ⁺ "ąf    ⁺ *^5!™^"^ ~

gdzie c jest pewną liczbą między z i x.

• Przykład 5.10

Napisać wzory Madaurina dla podanych funkcji z n-tą resztą Lagrangc’a: *) /to = «*n2x; b) /(*) = ze¹; c) /(*) = shi.

Rozwiązanie

Dla xo = 0 wzór Taylora przyjmuje postać:

/(*) = /<<>) +

m,+

/"(O) a 2!

+..

+

/<"-»> (0) , (n — 1)1 *

i

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i z. Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina z

resztą Lagrange*a.

a) Dla funkcji /(z) = sin 2z mamy

/(x) = 2coa2x, f'{x) = -4«in2i. /"'(*) = -8co«2x, /^4,(x) = 16sln2x. Na tej podstawie możemy wysunąć hipotezę o postaci Ar-tej pochodnej funkcji / :

/‘'to -

2* sin 2z dla k = 4p, 2*ćos2z dla k=4p+l, —2*sln2z dla k»4p + 2, —2*cos2z dla Ar = 4p + 3.

Powyższa hipoteza powinna być uzasadniona przez indukcję matematyczną. Nieskomplikowany dowód pozostawiamy Czytelnikowi. Korzystając z tego wzoru mamy

0 dla Ar=4p,

2* dla * = 4p + 1, 0 dla k = 4p + 2, —2* dla k *= 4p + 3

przykłady    ¹³⁷

dla k = 0,1,2,... . Podstawiając te pochodne do wtóru MacUurinaotrzymamy

nin 2z

2ⁿsin2c dla n = 4p, 2ⁿeos2c dla n= 4p+ l. -2" sin2c dla n = 4p + 2, -2ⁿcos2c dla n»4p + 3

* 2x-

!-*⁺-

2ⁿsin2c dla n = 4p, 2"coa2c dla n = 4p + l, -2" 8in2c dla n=*4p + 2, —2" cos2c dla n = 4p + 3,

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i *. b) Dla funkcji /(z) a xe^ł mamy

f{x) = c* +    = (z + l)e^x. f(x) = e* + (z + l)e* = (z + 2)e\

r(*> = c* + (* + 2)e^B - (* + 3)e“.

Łatwo teraz zauważyć, że /<**(*) = (z + k)e' dla fc * 0,1,... . Oczywiście powyższa hipoteza wymaga dowodu indukcyjnego. Jednak ten prosty dowód pomijamy. Zatem

/* *(0) = k dla k = 0,1.....Tak więc wzór Maclaurina dla funkcji /(z) = ze* ma

posiać

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i z. c) Dla funkcji f(x) b ihz mamy

Ix +	2 i n	“ ^1 -"“I ,
Ti ^+	»* ^+ " ^+ (n	-Dl* ^+
		(c + r«K_n
1! ^+	(»-*)'	n! ^1 '

nf

J*{x) = chx, f"{x) s shz, /'"(i) = chz itd.

Zolem

Stąd

/"'(O)

(sh x dla n parzystego, chi dla n nieparzystego.

J 0 dla n parzystego,

1 1 dla n nieparzystego.

Wzór Maclaurina przyjmie więc postać

x* ( she dla n parzystego, nl T che dla n nieparzystego

.hx = 0_+1T* ₊ |x*₊‘x* ₊ ...

x +

31

•1*.

( sli c dla n parzystego,

\ chc dla n nieparzystego.

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i x.